ما أضلاع مثلث 30-60-90؟

نسبتها 1 : √3 : 2. الضلع الأقصر يقابل الزاوية 30 درجة، والأطول هو الوتر ويساوي ضعف الأقصر تمامًا، والضلع الباقي هو الأقصر مضروبًا في الجذر التربيعي للعدد 3. وكل مثلث 30-60-90 في الوجود يحمل هذه النسب مهما كان حجمه.

من أين تأتي نسبة 30-60-90؟

اقطع مثلثًا متساوي الأضلاع إلى نصفين على امتداد ارتفاعه. تبقى إحدى زاويتَي الستين عند القاعدة كما هي، وتنقسم زاوية الستين عند القمة إلى ثلاثين، ويصنع القطع زاوية قائمة. وتُقسم القاعدة أيضًا إلى نصفين، فيكون الضلع القصير نصف الضلع الأصلي تمامًا، ولهذا يكون الوتر ضعف الضلع القصير. ثم يأتي الارتفاع من فيثاغورس.

ما أضلاع مثلث 45-45-90؟

نسبتها 1 : 1 : √2. ضلعا القائمة متساويان لأن زاويتَي الخمس والأربعين متساويتان، والوتر هو أحد الضلعين مضروبًا في الجذر التربيعي للعدد 2 - وهو فيثاغورس مطبَّقًا على مربّع مقطوع بقطره، إذ إن هذا بالضبط ما يكونه المثلث.

كيف أجد ضلعًا ناقصًا في مثلث خاص؟

عُد أولًا إلى الضلع القصير ثم كبِّر. فإذا أُعطي وتر مثلث 30-60-90 فاقسمه على اثنين لتحصل على الضلع القصير، وإذا أُعطي الضلع الطويل فاقسمه على جذر 3. وبمعرفة الضلع القصير يكون الآخران هو مضروبًا في جذر 3 وفي 2.

لماذا أحفظ هذا والآلة الحاسبة موجودة؟

لأن هذه الإجابات مضبوطة وإجابات الآلة ليست كذلك. تعطيك الآلة 8.660254 حيث تكون الحقيقة 5√3، والقيمة المضبوطة هي ما تحتاجه الخطوة التالية: الاختصار أو التبسيط أو ترك الإجابة بصيغة جذرية. كما أن الامتحانات تستعمل هذين المثلثين باستمرار، تحديدًا لأنهما يُحلّان بلا آلة حاسبة.

مثلث 30-60-90

مثلثان فقط تكون نسب أضلاعهما مضبوطة بما يكفي لكتابتها، ولهذا هما المثلثان الوحيدان اللذان يُحلّان ذهنيًّا. وكلاهما ينتج عن قطع شكل تعرفه سلفًا إلى نصفين.

بقلم Nethanel Bar, Co-founder & CEO

آخر تحديث 25 أغسطس 2026

لكل مثلث قائم نسبٌ بين أضلاعه. وفي جُلّها تكون تلك النسب كسورًا عشرية قبيحة تحتاج إلى آلة حاسبة. وفي اثنين منها بالضبط تكون عبارات قصيرة مضبوطة يمكنك كتابتها - ولهذا يظهر هذان المثلثان في سؤال بعد سؤال.

بدّل بينهما في الأسفل، وغيّر الحجم أيضًا.

الضلع القصير x3

النسبة1 : \u221a3 : 2هذه الأضلاع3 : 3√3 : 6

حرّك المؤشر. تتغيّر جميع الأضلاع ولا تتغيّر الزوايا الثلاث، ولهذا تكفي نسبة واحدة محفوظة لحلّ مثلث بأي حجم.

من أين يأتي مثلث 30-60-90

ابدأ بمثلث متساوي الأضلاع: ثلاثة أضلاع متساوية وثلاث زوايا قياس كل منها 60°. اقطعه من المنتصف تمامًا، من الرأس العلوي إلى منتصف القاعدة.

القطع عمودي على القاعدة، فتحصل على زاوية قائمة. وتبقى إحدى زاويتَي الـ 60° عند القاعدة سليمة. أما زاوية الـ 60° عند القمة فتنشطر نصفين لتصير 30°. هذا هو مثلث 30-60-90 الخاص بك، وقد جاء من شكل كنت تعرف أطوال أضلاعه أصلًا.

والآن اقرأ الأضلاع. إذا كان ضلع المثلث المتساوي الأضلاع 2، فوتر النصف لا يزال 2، والقاعدة صارت 1. ويأتي الارتفاع من فيثاغورس:

h^2 = 2^2 - 1^2 = 3، إذن h = sqrt(3).

أضلاع 1 وsqrt(3) و2 - تلك هي النسبة، وهي مضبوطة لأنها جاءت من إنشاء مضبوط لا من قياس.

أي ضلع يذهب إلى أين

القاعدة التي تمنع معظم الأخطاء: أكبر ضلع يقابل أكبر زاوية.

الزاوية	الضلع	الطول
30°	الضلع القصير	x
60°	الضلع الطويل	x√3
90°	الوتر	2x

فالوتر إذن ضعف الضلع القصير، لا ضعف الطويل أبدًا. ولأن sqrt(3) يساوي نحو 1.73، يقع الضلع الطويل بين الآخرين - وهذا فحص سريع لأي إجابة تكتبها.

مثلث 45-45-90 مربّع مقطوع نصفين

الحيلة نفسها بشكل مختلف. خذ مربّعًا ضلعه 1 واقطعه على امتداد قطره. الزاويتان الباقيتان 45°، وضلعا القائمة متساويان، والقطر هو الوتر:

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2، إذن d = sqrt(2).

النسبة 1 : 1 : sqrt(2). وهذا المثلث يظهر حيثما وُجدت المربّعات: أقطار الشاشات، والبلاط، ورقعة الشطرنج.

إيجاد ضلع ناقص

عُد دائمًا إلى الضلع القصير، ثم كبِّر.

إذا أُعطي الوتر. مثلث 30-60-90 وتره 14: اقسمه على اثنين فيكون الضلع القصير 7، والضلع الطويل 7sqrt(3).

إذا أُعطي الضلع الطويل. مثلث 30-60-90 ضلعه الطويل 9: اقسم على sqrt(3) فيكون الضلع القصير 3sqrt(3)، ومن ثمّ يكون الوتر 6sqrt(3).

إذا أُعطي ضلع في مثلث 45-45-90. الضلع الآخر مساوٍ له، والوتر هو ذلك الضلع مضروبًا في sqrt(2).

حرّك مؤشر الشكل وأنت تقرأ ما سبق - فالحساب أعلاه ليس سوى القراءة نفسها عند ثلاثة أحجام مختلفة.

جرّب واحدًا

مثلث 30-60-90 ضلعه القصير 6. فما طول ضلعه الطويل؟

اتركها 6sqrt(3) لا 10.39. فالصيغة المضبوطة هي ما تستطيع الخطوة التالية من المسألة أن تستعمله فعلًا، وهي ما يبحث عنه المصحّح.

القيم المثلثية المضبوطة تنتج مباشرةً

لأن هذين المثلثين لهما أضلاع مضبوطة، فلهما قيم جيب وجيب تمام مضبوطة - ومن هنا تأتي الأعداد في كل جدول لدائرة الوحدة:

الزاوية	الجيب	جيب التمام
30°	1/2	√3/2
45°	√2/2	√2/2
60°	√3/2	1/2

ثلاث قيم متمايزة في الربع الأول كله، و30° و60° هما الزوج نفسه معكوسًا - وهو تحديدًا ما تتوقّعه من مثلث واحد قُرئ من زاويتيه الحادّتين.

أسئلة متكررة

ما أضلاع مثلث 30-60-90؟: نسبتها 1 : √3 : 2. الضلع الأقصر يقابل الزاوية 30 درجة، والأطول هو الوتر ويساوي ضعف الأقصر تمامًا، والضلع الباقي هو الأقصر مضروبًا في الجذر التربيعي للعدد 3. وكل مثلث 30-60-90 في الوجود يحمل هذه النسب مهما كان حجمه.
من أين تأتي نسبة 30-60-90؟: اقطع مثلثًا متساوي الأضلاع إلى نصفين على امتداد ارتفاعه. تبقى إحدى زاويتَي الستين عند القاعدة كما هي، وتنقسم زاوية الستين عند القمة إلى ثلاثين، ويصنع القطع زاوية قائمة. وتُقسم القاعدة أيضًا إلى نصفين، فيكون الضلع القصير نصف الضلع الأصلي تمامًا، ولهذا يكون الوتر ضعف الضلع القصير. ثم يأتي الارتفاع من فيثاغورس.
ما أضلاع مثلث 45-45-90؟: نسبتها 1 : 1 : √2. ضلعا القائمة متساويان لأن زاويتَي الخمس والأربعين متساويتان، والوتر هو أحد الضلعين مضروبًا في الجذر التربيعي للعدد 2 - وهو فيثاغورس مطبَّقًا على مربّع مقطوع بقطره، إذ إن هذا بالضبط ما يكونه المثلث.
كيف أجد ضلعًا ناقصًا في مثلث خاص؟: عُد أولًا إلى الضلع القصير ثم كبِّر. فإذا أُعطي وتر مثلث 30-60-90 فاقسمه على اثنين لتحصل على الضلع القصير، وإذا أُعطي الضلع الطويل فاقسمه على جذر 3. وبمعرفة الضلع القصير يكون الآخران هو مضروبًا في جذر 3 وفي 2.
لماذا أحفظ هذا والآلة الحاسبة موجودة؟: لأن هذه الإجابات مضبوطة وإجابات الآلة ليست كذلك. تعطيك الآلة 8.660254 حيث تكون الحقيقة 5√3، والقيمة المضبوطة هي ما تحتاجه الخطوة التالية: الاختصار أو التبسيط أو ترك الإجابة بصيغة جذرية. كما أن الامتحانات تستعمل هذين المثلثين باستمرار، تحديدًا لأنهما يُحلّان بلا آلة حاسبة.