Multiplier des fractions
Multiplier des fractions est de loin la plus facile des quatre opérations, et on l’enseigne comme la compliquée, parce que la règle arrive sans aucune raison attachée. La raison est un carré découpé dans deux directions.
Dernière mise à jour
Des quatre choses que l’on peut faire avec deux fractions, multiplier est de loin la plus facile : multipliez les numérateurs, multipliez les dénominateurs, fini. Pas de dénominateur commun, pas de retournement, pas de réorganisation.
Ce qui soulève la question que presque toutes les pages sautent. Additionner des fractions exige que les dénominateurs correspondent. Pourquoi pas la multiplication ?
Les deux découpes vont dans des directions différentes : elles n’ont donc jamais à se correspondre, et c’est pourquoi multiplier ne demande aucun dénominateur commun. La réponse est le chevauchement.
La réponse est le chevauchement
Le carré est un tout. La première fraction le découpe en colonnes et en colore quelques-unes ; la seconde le découpe en lignes et en colore quelques-unes. Le rectangle fortement coloré est l’endroit où les deux colorations se chevauchent, et ce rectangle est la réponse.
Avec 3/4 et 2/3, le carré est découpé en 4 colonnes et 3 lignes, ce qui fait 12 petites cases. Le chevauchement couvre 3 colonnes sur 2 lignes, soit 6 cases. Six sur douze :
3/4 * 2/3 = (3*2)/(4*3) = 6/12 = 1/2
Les deux nombres du haut se sont multipliés parce que le chevauchement mesure tant de cases de large sur tant de haut. Les deux du bas se sont multipliés parce que le carré entier a été découpé en tant de cases au total. Rien d’autre ne pouvait arriver.
Et la question du dénominateur commun se répond d’elle-même. Les deux découpes vont dans des directions différentes, elles n’ont donc jamais à correspondre. L’addition a besoin de morceaux identiques parce qu’on compte des morceaux ensemble ; ici on ne compte rien ensemble, on prend une partie d’une partie.
Cela veut dire le mot « de »
Lisez le signe fois comme de et multiplier des fractions cesse de devoir se retenir :
- la moitié *d’*une moitié est un quart — 1/2 * 1/2 = 1/4
- deux tiers de trois quarts est une moitié — 2/3 * 3/4 = 1/2
- un tiers de 60 est 20 — 1/3 * 60 = 20
C’est aussi pourquoi un énoncé comme « trois cinquièmes de la classe de 30 » est une multiplication et non quelque chose de plus compliqué.
Une conséquence surprend. Multiplier par une fraction inférieure à 1 réduit, parce qu’on en prend une partie. 3/4 * 8 = 6, et 6 est moins que 8. Ce n’est pas une erreur ; c’est ce que « trois quarts de » veut dire.
Entiers et nombres mixtes
Un entier est une fraction avec 1 en dessous, et écrit ainsi la même règle le couvre :
4/5 * 10 = 4/5 * 10/1 = 40/5 = 8
Un nombre mixte doit d’abord devenir une fraction impropre, car il n’y a aucun moyen de multiplier la partie entière et la partie fractionnaire séparément et de tomber juste. 2 + 1/2 vaut 5/2, donc
5/2 * 2/3 = 10/6 = 5/3
Si vous êtes tenté de multiplier le 2 par le 2 puis les moitiés par les tiers, essayez avec 2 1/2 fois 2 1/2 : la réponse honnête est 6 1/4, et le raccourci donne 4 1/4.
Simplifiez d’abord, les nombres restent petits
Comme tout le produit est une seule fraction, n’importe quel numérateur peut être simplifié avec n’importe quel dénominateur avant de multiplier. Prenez 3/4 * 8/9 :
- le 3 et le 9 partagent un facteur 3, il reste 1 et 3
- le 4 et le 8 partagent un facteur 4, il reste 1 et 2
ce qui laisse 1/1 * 2/3 = 2/3 — la bonne réponse, sans jamais avoir écrit 72. Multiplier d’abord donne 24/36, qui se réduit au même 2/3 avec un peu plus de travail. Simplifier tôt n’est pas une autre méthode, juste moins de calculs.
Essayez
Si vous avez trouvé 10/12, c’est la bonne quantité écrite sous la mauvaise forme — simplifiez-la. Si vous avez cherché un dénominateur commun, cette étape appartient à l’addition, et cette page est la raison pour laquelle on peut s’en passer ici.
Questions fréquentes
- Comment multiplie-t-on des fractions ?
- Multipliez les deux numérateurs entre eux et les deux dénominateurs entre eux, puis simplifiez. Ainsi 3/4 x 2/3 = 6/12, soit 1/2. Il n’y a ni étape de dénominateur commun ni retournement : cela appartient à l’addition et à la division.
- Pourquoi pas de dénominateur commun pour multiplier ?
- Parce que les deux fractions découpent le tout dans des directions différentes. L’addition exige des morceaux de même taille pour pouvoir les compter ensemble ; la multiplication prend une fraction D’UNE autre fraction, donc une découpe traverse l’autre et elles n’ont jamais à correspondre. Dans le carré ci-dessus, une fraction découpe des colonnes et l’autre des lignes.
- Que veut vraiment dire multiplier des fractions ?
- Cela veut dire « de ». La moitié d’une moitié est un quart, et c’est exactement ce que dit 1/2 x 1/2 = 1/4. Lire le signe fois comme le mot « de » transforme presque tout énoncé en un calcul évident : deux tiers de 3/4, c’est 2/3 x 3/4.
- Comment multiplier une fraction par un entier ?
- Écrivez l’entier sur 1 et continuez normalement. 4/5 x 10 devient 4/5 x 10/1 = 40/5 = 8. Notez que la réponse a grandi, car multiplier par un nombre supérieur à 1 agrandit toujours, tandis que multiplier par une fraction inférieure à 1 réduit toujours.
- Peut-on simplifier avant de multiplier ?
- Oui, et c’est généralement plus simple. N’importe quel numérateur peut être simplifié avec n’importe quel dénominateur avant la multiplication, car tout le produit est une seule fraction. Dans 3/4 x 8/9, le 3 et le 9 partagent un facteur 3 et le 4 et le 8 un facteur 4, il reste 1/1 x 2/3 = 2/3 sans jamais écrire un grand nombre.
Envie de l'essayer avec vos propres nombres ?
Calculatrice de fractions Ouvrir la calculatrice