Forme point-pente
La forme réduite réclame le seul point que presque aucun énoncé ne donne. La forme point-pente accepte celui qu'on vous a réellement fourni : c'est pour cela qu'elle vient en premier.
Dernière mise à jour
Presque tous les exercices sur les droites donnent un point et une pente, ou deux points. Presque aucun ne donne l'ordonnée à l'origine. Pourtant y = mx + b est souvent la seule forme que l'on sache écrire : on passe donc une ligne et demie à résoudre pour un b que personne n'a demandé.
La forme point-pente évite cela. Faites glisser le point ci-dessous et regardez l'équation le suivre.
Faites glisser le point où vous voulez. L'équation se réécrit autour du point choisi : la droite n'a aucune raison de couper l'axe des y sur un entier.
D'où vient la formule
La pente est la montée sur le déplacement entre deux points quelconques de la droite. Fixez l'un d'eux en un point connu, (x₁, y₁), et laissez l'autre être un point général (x, y). Alors
m = (y - y₁)/(x - x₁)
Multipliez les deux membres par x - x₁ et la fraction disparaît :
y - y₁ = m(x - x₁)
Voilà toute la démonstration. La forme point-pente n'est pas une idée nouvelle : c'est la formule de la pente dont on a défait la division, et c'est pourquoi toute la droite la vérifie et qu'elle marche depuis n'importe quel point de celle-ci.
Les deux soustractions sont des distances depuis votre point
Les deux signes moins font le même travail sur des axes différents : de combien on avance depuis x₁, de combien on monte depuis y₁. Lus ainsi, les signes cessent d'être quelque chose à mémoriser.
Ils mordent quand une coordonnée est négative. Une droite de pente 2 passant par (-3, 4) s'écrit
y - 4 = 2(x + 3)
car soustraire -3 revient à ajouter 3. Obtenir un plus n'est pas une erreur ; écrire x - 3 en est une.
Déplacez le point de la figure dans le troisième quadrant et regardez les deux signes basculer. C'est la partie de cette forme qui engendre le plus de mauvaises réponses, et trente secondes d'observation la règlent mieux qu'une règle.
Deux points, une droite
Avec (1, 1) et (4, 7) : trouvez d'abord la pente, puis placez l'un des deux points.
m = (7 - 1)/(4 - 1) = 6/3 = 2
Avec le premier point on obtient y - 1 = 2(x - 1). Avec le second, y - 7 = 2(x - 4). Elles ne se ressemblent pas et ce sont la même droite : développez l'une ou l'autre et vous obtenez y = 2x - 1.
Il vaut mieux s'y fier que d'en douter. Si votre réponse diffère de celle du corrigé, développez les deux avant de conclure que vous vous êtes trompé.
Passer à la forme réduite
Quand l'énoncé veut vraiment y = mx + b, la conversion tient en deux gestes : développer la parenthèse, puis isoler y.
En partant de y - 3 = 2(x - 1) : le développement donne y - 3 = 2x - 2, et en ajoutant 3 des deux côtés, y = 2x + 1.
Le b auquel vous n'avez jamais eu à penser apparaît à la fin, et c'est là tout l'intérêt. Le travail a été fait par la forme point-pente ; la forme réduite n'est que la mise en forme.
À vous
L'erreur la plus fréquente ici est de développer 2(x - 1) en 2x - 1. Le 2 doit atteindre les deux termes de la parenthèse : c'est la distributivité qui fait son travail habituel.
Quelle forme pour quelle question
| on vous donne | prenez |
|---|---|
| un point et une pente | point-pente |
| deux points | la pente entre eux, puis point-pente |
| l'ordonnée à l'origine et une pente | forme réduite |
| une équation à tracer vite | forme réduite |
| une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre, par un point | point-pente |
La forme point-pente sert à écrire une droite ; la forme réduite sert à en lire une. La plupart des problèmes ont besoin des deux, dans cet ordre.
Questions fréquentes
- Qu'est-ce que la forme point-pente ?
- L'équation y - y1 = m(x - x1), où m est la pente et (x1, y1) un point quelconque par lequel passe la droite. C'est la traduction directe de la formule de la pente : la montée depuis le point connu divisée par le déplacement depuis ce point vaut toujours m, et multiplier par ce déplacement fait disparaître la fraction.
- Quand utiliser la forme point-pente plutôt que la forme réduite ?
- Chaque fois que le point donné n'est pas l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire presque toujours. La forme réduite exige b, donc en partant d'un point quelconque il faut d'abord résoudre pour b. La forme point-pente permet d'écrire la réponse tout de suite et de réarranger ensuite, si l'énoncé le demande.
- Comment trouver l'équation d'une droite passant par deux points ?
- Calculez d'abord la pente : la différence des y sur la différence des x. Choisissez ensuite l'un des deux points - vraiment l'un ou l'autre - et placez-le dans la forme point-pente. Le réarrangement n'est nécessaire que si l'énoncé impose une forme.
- Pourquoi les deux opérations sont-elles des soustractions ?
- Parce que ce sont deux différences mesurées depuis le point connu : de combien on avance depuis x1, et de combien on monte depuis y1. Quand une coordonnée est négative, la soustraction devient une addition, et c'est là que naissent presque toutes les erreurs : un point en (-3, 4) donne y - 4 = m(x + 3), et ce plus est correct.
- Le choix du point a-t-il une importance ?
- Non. Les deux équations semblent différentes et décrivent exactement la même droite : réarrangez-les toutes deux en forme réduite et elles deviennent identiques. La plupart des enseignants acceptent l'une ou l'autre, mais si l'énoncé impose une forme, le réarrangement tranche.
À vous de le faire, pour de vrai
Lire le calcul de quelqu'un d'autre n'est pas la même chose que savoir le faire. Le cours de maths de Coddy vous installe sur un tableau qui vérifie chacun de vos gestes : vous voyez donc où vous en êtes réellement.
Envie de l'essayer avec vos propres nombres ?
Equation Solver Ouvrir la calculatrice