Le triangle 30-60-90
Deux triangles seulement ont des rapports de côtés assez exacts pour être écrits, ce qui en fait les seuls qu'on résout de tête. Tous deux naissent d'une figure familière coupée en deux.
Dernière mise à jour
Tout triangle rectangle a des rapports entre ses côtés. Pour presque tous, ces rapports sont des décimaux disgracieux qui réclament une calculatrice. Pour exactement deux d'entre eux, ce sont de courtes expressions exactes que l'on peut écrire - et c'est pourquoi ces deux-là reviennent d'un exercice à l'autre.
Passez de l'un à l'autre ci-dessous, et changez aussi la taille.
Déplacez le curseur. Tous les côtés changent, les trois angles non : voilà pourquoi un seul rapport mémorisé règle un triangle de n'importe quelle taille.
D'où vient le 30-60-90
Partez d'un triangle équilatéral : trois côtés égaux, trois angles de 60°. Coupez-le en plein milieu, du sommet jusqu'au milieu de la base.
La coupe est perpendiculaire à la base : vous avez donc un angle droit. L'un des angles de 60° de la base subsiste intact. Celui de 60° au sommet est partagé en deux et devient 30°. Voilà votre triangle 30-60-90, issu d'une figure dont vous connaissiez déjà les côtés.
Lisez maintenant les côtés. Si l'équilatéral avait des côtés de 2, l'hypoténuse de la moitié vaut toujours 2 et la base a été réduite à 1. La hauteur vient de Pythagore :
h^2 = 2^2 - 1^2 = 3, donc h = sqrt(3).
Des côtés 1, sqrt(3) et 2 - voilà le rapport, exact parce qu'il vient d'une construction exacte et non d'une mesure.
Quel côté va où
La règle qui évite le plus d'erreurs : le plus grand côté est opposé au plus grand angle.
| angle | côté | longueur |
|---|---|---|
| 30° | petit côté | x |
| 60° | grand côté | x√3 |
| 90° | hypoténuse | 2x |
L'hypoténuse vaut donc le double du petit côté, jamais du grand. Et comme sqrt(3) vaut environ 1,73, le grand côté se situe entre les deux autres - vérification rapide de toute réponse écrite.
Le 45-45-90 est un carré coupé en deux
Même astuce, autre figure. Prenez un carré de côté 1 et coupez-le selon sa diagonale. Les deux angles restants valent 45°, les deux côtés de l'angle droit sont égaux et la diagonale est l'hypoténuse :
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, donc d = sqrt(2).
Rapport 1 : 1 : sqrt(2). Celui-là apparaît partout où il y a des carrés : diagonales d'écrans, carrelages, échiquiers.
Trouver un côté manquant
Revenez toujours au petit côté, puis multipliez.
L'hypoténuse est donnée. Un 30-60-90 d'hypoténuse 14 : divisez par deux, le petit côté vaut 7, et le grand côté 7sqrt(3).
Le grand côté est donné. Un 30-60-90 de grand côté 9 : divisez par sqrt(3) pour obtenir le petit côté, 3sqrt(3), donc l'hypoténuse vaut 6sqrt(3).
Un côté d'un 45-45-90 est donné. L'autre côté lui est égal, et l'hypoténuse vaut ce côté fois sqrt(2).
Déplacez le curseur de la figure en lisant ces lignes : l'arithmétique ci-dessus n'est que la même lecture à trois tailles différentes.
À vous
Un triangle 30-60-90 a un petit côté de 6. Combien mesure son grand côté ?
Laissez 6sqrt(3) plutôt que 10,39. La forme exacte est celle que l'étape suivante d'un problème peut réellement utiliser, et c'est celle qu'un correcteur attend.
Les valeurs trigonométriques exactes en découlent
Comme ces deux triangles ont des côtés exacts, ils ont des sinus et cosinus exacts - et c'est de là que viennent les nombres de toute table du cercle trigonométrique :
| angle | sin | cos |
|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | √3/2 | 1/2 |
Trois valeurs distinctes sur tout le premier quadrant, et 30° et 60° forment la même paire inversée - exactement ce qu'on attend d'un seul triangle lu depuis ses deux angles aigus.
Questions fréquentes
- Quels sont les côtés d'un triangle 30-60-90 ?
- Ils sont dans le rapport 1 : √3 : 2. Le plus petit côté est opposé à l'angle de 30 degrés, le plus grand est l'hypoténuse et vaut exactement le double du petit, et le côté restant est le petit multiplié par la racine de 3. Tout triangle 30-60-90 a ces proportions, quelle que soit sa taille.
- D'où vient le rapport du 30-60-90 ?
- Coupez un triangle équilatéral en deux le long de sa hauteur. Un des angles de 60 degrés de la base subsiste, celui de 60 au sommet est coupé en 30, et la coupe crée un angle droit. La base est elle aussi divisée par deux, donc le petit côté vaut exactement la moitié du côté d'origine - d'où l'hypoténuse double du petit côté. La hauteur découle alors de Pythagore.
- Quels sont les côtés d'un triangle 45-45-90 ?
- Ils sont dans le rapport 1 : 1 : √2. Ses deux côtés de l'angle droit sont égaux parce que les deux angles de 45 degrés le sont, et l'hypoténuse vaut un côté fois la racine de 2 - c'est Pythagore appliqué à un carré coupé selon sa diagonale, ce qui est exactement ce qu'est ce triangle.
- Comment trouver un côté manquant dans un triangle particulier ?
- Revenez d'abord au petit côté, puis multipliez. Si on vous donne l'hypoténuse d'un 30-60-90, divisez-la par deux pour obtenir le petit côté ; si on vous donne le grand côté, divisez par la racine de 3. Une fois le petit côté connu, les deux autres valent ce petit côté fois racine de 3 et fois 2.
- Pourquoi les mémoriser alors qu'une calculatrice existe ?
- Parce que ces réponses sont exactes et pas celles de la calculatrice. Une calculatrice affiche 8,660254 là où la vérité est 5√3, et c'est la valeur exacte dont la suite du travail a besoin : simplifier, réduire, ou rendre une réponse sous forme de radical. Les examens utilisent aussi ces deux triangles en permanence, précisément parce qu'ils se traitent sans calculatrice.
À vous de le faire, pour de vrai
Lire le calcul de quelqu'un d'autre n'est pas la même chose que savoir le faire. Le cours de maths de Coddy vous installe sur un tableau qui vérifie chacun de vos gestes : vous voyez donc où vous en êtes réellement.
