SOHCAHTOA
Opposé et adjacent ne sont pas des propriétés d'un côté, mais d'un côté par rapport à un angle. Presque toute erreur de SOHCAHTOA, c'est cette phrase qui n'a pas été comprise.
Dernière mise à jour
SOHCAHTOA est un bon moyen mnémotechnique pour un fait que l'on connaît déjà à moitié, et il ne fait rien contre ce qui cloche réellement. L'erreur n'est presque jamais dans les lettres. Elle vient d'avoir traité « opposé » et « adjacent » comme des étiquettes peintes sur le triangle, alors qu'ils dépendent entièrement de l'angle où l'on se place.
Modifiez le triangle ci-dessous, puis faites passer l'angle marqué de A à B : les étiquettes s'échangent sans qu'aucune ligne ne bouge.
Changez l'angle marqué. Le triangle ne bouge pas, mais opposé et adjacent échangent leurs rôles : voilà pourquoi ces deux mots ont toujours besoin d'un angle.
Nommez les côtés depuis l'angle, pas depuis la page
L'hypoténuse est la facile : toujours le plus long côté, toujours celui qui fait face à l'angle droit, et elle ne change jamais, quel que soit l'angle aigu choisi.
Les deux autres, si :
- le côté opposé est celui qui ne touche pas votre angle ;
- le côté adjacent est celui qui le touche.
Voilà toute la règle de nommage, et c'est pourquoi la figure a un sélecteur A/B. Dans un triangle 3-4-5, le côté de longueur 4 est opposé à un angle et adjacent à l'autre. Demander si 4 « est l'opposé » est une question sans réponse tant qu'un angle n'est pas nommé.
Les trois rapports
Une fois les côtés nommés, le moyen mnémotechnique veut enfin dire quelque chose :
| rapport | vaut | mnémotechnique |
|---|---|---|
| sinus | opposé sur hypoténuse | SOH |
| cosinus | adjacent sur hypoténuse | CAH |
| tangente | opposé sur adjacent | TOA |
Deux d'entre eux utilisent l'hypoténuse ; la tangente est l'exception et n'en utilise aucune. C'est souvent le raccourci le plus rapide : si l'hypoténuse n'apparaît nulle part dans l'énoncé, c'est la tangente qu'il vous faut.
Pourquoi la taille ne compte pas
Voici le fait qui rend la trigonométrie possible. Doublez tous les côtés d'un triangle rectangle : les angles ne changent pas - et aucun rapport ne change non plus, car le doublement se simplifie :
(2*3)/(2*5) = 3/5
Le sinus d'un angle est donc une propriété de l'angle, pas d'un triangle particulier. C'est ce qui permet à une table de sinus d'exister, et à une calculatrice de répondre sans qu'on lui indique la taille de quoi que ce soit.
Déplacez les deux curseurs de la figure en gardant leur rapport - 3 et 4, puis 6 et 8 - et regardez les trois valeurs rester en place.
Choisir le bon rapport
La méthode est toujours la même, en trois étapes.
- Marquez votre angle, puis étiquetez les trois côtés depuis lui.
- Repérez les deux côtés dont parle l'énoncé : celui que vous connaissez, celui que vous cherchez.
- Prenez le rapport construit sur ces deux-là.
Une échelle de 10 mètres s'appuie à 65° du sol ; à quelle hauteur atteint-elle ? L'échelle est l'hypoténuse et la hauteur est le côté opposé à l'angle : opposé et hypoténuse, donc sinus. sin(65°) = h/10, d'où h = 10sin(65°).
Rien dans ce raisonnement n'a consisté à se rappeler une formule pour les échelles.
À vous
Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 6 et 8, donc son hypoténuse vaut 10. Que vaut le sinus de l'angle opposé au côté de longueur 6 ?
Si vous avez répondu 6/8, l'hypoténuse a été confondue avec un côté de l'angle droit - précisément l'erreur que le mot « hypoténuse » existe pour éviter.
La suite
Deux directions à partir d'ici. Certains angles donnent des rapports exacts sans aucune calculatrice - les triangles 30-60-90 et 45-45-90 - et il vaut la peine de les savoir par cœur. Au-delà, le cercle trigonométrique reprend ces trois mêmes rapports et les libère du triangle, si bien qu'ils gardent un sens au-delà de 90 degrés.
Questions fréquentes
- Que signifie SOHCAHTOA ?
- Sinus égale Opposé sur Hypoténuse, Cosinus égale Adjacent sur Hypoténuse, Tangente égale Opposé sur Adjacent. C'est un moyen mnémotechnique pour les trois rapports d'un triangle rectangle, et il ne sert que si l'on sait quel côté compte comme opposé et lequel comme adjacent - ce qui dépend de l'angle depuis lequel on travaille.
- Quel côté est l'opposé et lequel est l'adjacent ?
- Choisissez d'abord votre angle. L'hypoténuse est toujours le plus long côté, celui qui fait face à l'angle droit, et elle ne change jamais. Des deux côtés restants, celui qui ne touche pas votre angle est l'opposé, celui qui le touche est l'adjacent. Si vous passez à l'autre angle aigu, ces deux-là échangent.
- Comment savoir s'il faut sinus, cosinus ou tangente ?
- Étiquetez les trois côtés par rapport à votre angle, puis regardez lesquels deux l'énoncé met en jeu. S'il parle de l'opposé et de l'hypoténuse, c'est le sinus ; de l'adjacent et de l'hypoténuse, le cosinus ; des deux côtés de l'angle droit sans hypoténuse en vue, la tangente. Le choix dépend de ce que vous avez et de ce que vous cherchez, pas de la forme.
- Pourquoi le rapport ne change-t-il pas si le triangle grandit ?
- Parce qu'agrandir un triangle multiplie tous ses côtés par le même facteur : tout rapport de deux côtés reste identique, le facteur se simplifiant en haut et en bas. Deux triangles rectangles ayant les mêmes angles sont semblables, donc le sinus de 30 degrés est le même nombre dans un triangle de la taille d'une pièce et dans un autre de la taille d'un champ.
- SOHCAHTOA marche-t-il sur un triangle sans angle droit ?
- Non. Les trois rapports se définissent à partir d'un triangle rectangle, donc un triangle sans angle droit demande d'autres outils : la loi des sinus ou la loi des cosinus. Une astuce courante consiste à tracer une hauteur pour le couper en deux triangles rectangles - c'est d'ailleurs ainsi que ces deux lois se démontrent.
À vous de le faire, pour de vrai
Lire le calcul de quelqu'un d'autre n'est pas la même chose que savoir le faire. Le cours de maths de Coddy vous installe sur un tableau qui vérifie chacun de vos gestes : vous voyez donc où vous en êtes réellement.
