Notation par intervalles
Aucun raisonnement ne mène de « 3 est inclus » à « mettez un crochet » : c'est une convention. Ce qui la fait tenir, c'est de voir les trois écritures bouger ensemble.
Dernière mise à jour
La notation par intervalles n'est pas difficile. Elle est arbitraire, ce qui est pire. Aucun raisonnement ne mène de « 3 appartient à cet ensemble » à « donc mettez un crochet » : quelqu'un l'a choisi, et il faut désormais le savoir.
Ce qui la fait vraiment tenir, c'est de voir bouger en même temps les trois façons d'écrire un ensemble. Déplacez une borne ci-dessous, puis basculez-la entre incluse et exclue.
Déplacez une borne, puis basculez-la entre incluse et exclue. Le crochet change de forme et le point se remplit : ce sont deux écritures d'un même fait.
Les deux parenthèses
Tout intervalle s'écrit avec la plus petite borne d'abord et la plus grande ensuite, chaque borne portant l'une des deux marques :
| ce que vous voulez dire | inégalité | notation | sur la droite |
|---|---|---|---|
| la borne est dedans | x <= 7 | 7] | point plein |
| la borne est dehors | x < 7 | 7) | point creux |
Voilà toute la convention. Le reste est de la comptabilité.
Ainsi -2 <= x < 5 - deux idées et demie sur une ligne - devient
[-2, 5). Le crochet à gauche dit que -2 est dans l'ensemble ; la parenthèse à
droite dit que 5 n'y est pas.
Une vérification utile : la forme de la parenthèse va dans le même sens que le signe. Le crochet a un bout plat et fermé, comme le trait sous le signe ≤. La parenthèse est ouverte et arrondie, comme le < tout seul.
L'infini est toujours ouvert
x > 3 n'a pas de borne supérieure : on écrit donc (3, ∞).
Remarquez la parenthèse à droite. Ce n'est pas un choix de style, c'est une
contrainte. Un crochet signifie « cette borne est dans l'ensemble », et l'infini
n'est pas un nombre : il ne peut être dans rien. Écrire [3, ∞] revient à
affirmer qu'une valeur est l'infini, ce que tout manuel compte faux.
Même chose de l'autre côté : x <= 5 s'écrit (-∞, 5] - ouvert contre l'infini, fermé contre le 5.
Deux portions à la fois
Certains ensembles ne sont pas d'un seul tenant. « Tout ce qui est sous -2 ou au-dessus de 5 » ne rentre pas dans un intervalle, car les nombres du milieu n'y sont pas. Reliez les morceaux par une réunion :
(-∞, -2) ∪ (5, ∞)
Écrivez toujours le morceau de gauche d'abord, et jamais à l'envers comme
[5, -2]. Le premier nombre d'un intervalle est le plus petit, donc un
intervalle inversé ne décrit rien du tout.
Cette forme apparaît surtout pour les domaines. Le domaine de 1/(x-3) est tout nombre sauf 3, ce qui donne en intervalles (-∞, 3) ∪ (3, ∞) : la droite avec un point percé.
D'une inégalité à un intervalle
La plupart des exercices donnent une inégalité à résoudre puis veulent la réponse en intervalle : les deux moitiés comptent autant. Résolvez d'abord :
La réponse est x < 5. Il n'y a pas de borne inférieure et 5 est exclu, donc en notation d'intervalle cela s'écrit (-∞, 5).
Un piège pendant la résolution : multiplier ou diviser par un négatif retourne le signe. -3x <= 12 devient x >= -4, pas x <= -4 - et si le retournement passe inaperçu, l'intervalle pointe exactement du mauvais côté.
À vous
Puis énoncez la réponse à voix haute en intervalle avant de passer à la suite. Savoir résoudre et savoir écrire sont deux compétences distinctes, et c'est sur la seconde que les points se perdent.
Questions fréquentes
- Qu'est-ce que la notation par intervalles ?
- Une façon courte d'écrire une portion de la droite des réels. On donne les deux bornes dans l'ordre, la plus petite d'abord, et le type de parenthèse dit si chaque borne appartient à l'ensemble : le crochet l'inclut, la parenthèse l'exclut. Ainsi [2, 7) désigne tout de 2 jusqu'à 7 sans inclure 7.
- Quand met-on un crochet et quand une parenthèse ?
- Un crochet pour une borne qui appartient à l'ensemble, une parenthèse pour une borne qui n'y appartient pas. Cela correspond directement au signe de l'inégalité : inférieur ou égal donne un crochet, strictement inférieur une parenthèse. Sur une droite graduée, la même distinction est un point plein contre un point creux.
- Pourquoi l'infini prend-il toujours une parenthèse ?
- Parce que l'infini n'est pas un nombre : rien ne peut lui être égal. Une borne ne prend un crochet que si l'ensemble contient cette valeur, et aucun ensemble ne contient l'infini. On écrit donc (-∞, 5] ou [3, ∞), jamais un crochet contre le symbole d'infini.
- Comment écrire deux portions séparées ?
- On les relie par le symbole de réunion ∪, en écrivant d'abord celle de gauche : (-∞, -2) ∪ (5, ∞) désigne tout ce qui est sous -2 avec tout ce qui est au-dessus de 5. C'est l'écriture d'une inégalité avec « ou », et cela revient sans cesse pour les domaines où une valeur doit être exclue.
- Quelle différence avec la notation ensembliste ?
- Elles décrivent les mêmes ensembles dans deux styles. La notation par intervalles nomme les deux bornes et laisse le détail aux crochets ; la notation ensembliste écrit la condition, comme l'ensemble des x tels que 2 est inférieur ou égal à x et x est inférieur à 7. La première est plus courte et c'est celle qu'on attend pour les domaines et les images.
À vous de le faire, pour de vrai
Lire le calcul de quelqu'un d'autre n'est pas la même chose que savoir le faire. Le cours de maths de Coddy vous installe sur un tableau qui vérifie chacun de vos gestes : vous voyez donc où vous en êtes réellement.
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