Diviser des fractions
« On garde, on change, on retourne » est une règle fiable et une explication détestable. Demandez plutôt combien de fois une fraction tient dans l’autre, comptez-les sur une barre, et le retournement devient la seule chose qui pouvait arriver.
Dernière mise à jour
On apprend presque tous la même formule pour cela — on garde, on change, on retourne — et on ne nous dit presque jamais pourquoi elle marche. C’est dommage, car la raison est plus simple que la règle et rend impossible de l’appliquer à l’envers.
Commencez par ce que la division demande réellement : combien de ceux-là tiennent dans celui-ci ? Douze divisé par 3 vaut 4 parce que quatre 3 tiennent dans 12. Les fractions ne font pas exception, et on peut les compter.
Diviser demande combien de fois la seconde fraction tient dans la première. Comptez les morceaux numérotés : ce nombre est la réponse, et c’est la raison pour laquelle on retourne la seconde fraction.
Comptez les morceaux et le retournement apparaît
La barre est un tout. La coloration pâle est la première fraction — ce que vous divisez. Les blocs numérotés sont la seconde fraction, posée bout à bout le long de la barre, et les numéros sont le compte.
Aux valeurs de départ, vous demandez combien de huitièmes tiennent dans trois quarts. Six blocs apparaissent, donc :
(3/4)/(1/8) = 6
Regardez maintenant ce que compter des huitièmes est. Il y en a 8 dans chaque unité, donc demander combien de huitièmes quelque chose contient revient à demander combien de fois plus grand qu’un huitième c’est — et cela, c’est multiplier par 8 :
(3/4)/(1/8) = 3/4 * 8/1 = 24/4 = 6
Voilà le retournement. Diviser par une fraction avec 8 en dessous revient à multiplier par 8, parce qu’il y en a 8 dans chaque unité. Transformer 1/8 en 8/1 n’est pas un tour appliqué aux nombres ; c’est la question réécrite.
La fraction retournée a un nom, l’inverse, et la règle complète est : diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
Seule la seconde se retourne
Déplacez les curseurs pour que la seconde fraction soit plus grande que la première et le compte tombe sous 1 — le dernier bloc devient pointillé, car seule une partie tient. Ce bloc partiel explique pourquoi la réponse est une fraction plutôt qu’un entier, et c’est aussi un bon contrôle de la fraction que vous avez retournée.
La division n’est pas symétrique, donc l’ordre compte :
(3/4)/(1/2) = 3/4 * 2/1 = 3/2
(1/2)/(3/4) = 1/2 * 4/3 = 2/3
Les mêmes deux fractions, des réponses différentes. Si vous retournez la mauvaise, vous obtenez l’inverse de la bonne réponse, une erreur qui se cache bien : les deux ressemblent à des fractions plausibles. Dire le calcul à voix haute règle la question : le nombre par lequel vous divisez est celui qui se retourne.
Les entiers, dans les deux sens
Un entier est une fraction sur 1, donc diviser par 5 revient à multiplier par 1/5 :
(2/3)/5 = 2/3 * 1/5 = 2/15
ce que partager deux tiers entre cinq personnes devrait donner : quelque chose de petit. L’autre sens vaut aussi la peine :
6/(1/3) = 6 * 3/1 = 18
Dix-huit tiers dans six unités. Chaque fois que le résultat d’une division sort plus grand que le point de départ, vérifiez si vous avez divisé par quelque chose d’inférieur à 1 : si oui, une réponse plus grande est correcte, pas une étourderie.
Un nombre mixte devient d’abord impropre
2 + 1/2 divisé par 3/4 n’est pas « 2 divisé par quelque chose ». Écrivez le nombre mixte 5/2 et il n’a plus rien de particulier :
(5/2)/(3/4) = 5/2 * 4/3 = 20/6 = 10/3
Essayez
Si vous avez trouvé 8/27, c’est la première fraction qui a été retournée et non la seconde. Si vous avez trouvé 2/3 fois 4/9, rien n’a été retourné : le passage de la division à la multiplication et le retournement vont toujours ensemble.
Questions fréquentes
- Comment divise-t-on des fractions ?
- Retournez la seconde fraction et multipliez. Ainsi 3/4 divisé par 1/8 devient 3/4 x 8/1 = 24/4 = 6. La première fraction reste exactement telle quelle : seule celle PAR laquelle on divise est mise à l’envers.
- Pourquoi retourne-t-on la seconde fraction ?
- Parce que diviser demande combien de fois la seconde fraction tient dans la première, et compter combien de huitièmes tiennent dans quelque chose revient à demander combien de fois plus grand qu’un huitième c’est — ce qui est multiplier par 8. Transformer 1/8 en 8/1, c’est cette question écrite.
- Laquelle des deux fractions retourne-t-on ?
- La seconde, le diviseur. Retourner la première donne une autre réponse, car la division n’est pas symétrique : 3/4 divisé par 1/2 vaut 3/2, tandis que 1/2 divisé par 3/4 vaut 2/3. En cas de doute, dites le calcul à voix haute : le nombre PAR lequel vous divisez est celui qui se retourne.
- Pourquoi la réponse est-elle parfois plus grande qu’au départ ?
- Parce que diviser par un nombre inférieur à 1 demande combien de petites choses tiennent dans une plus grande, et la réponse est : beaucoup. 3/4 divisé par 1/8 vaut 6 — six morceaux de la taille d’un huitième tiennent dans trois quarts. La division ne réduit que lorsqu’on divise par quelque chose de plus grand que 1.
- Comment diviser une fraction par un entier ?
- Écrivez l’entier sur 1 et retournez-le, donc diviser par 5 revient à multiplier par 1/5. Alors 2/3 divisé par 5 vaut 2/3 x 1/5 = 2/15. Cela correspond à ce que partager veut dire : deux tiers répartis entre cinq personnes donnent à chacune un petit morceau.
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