Notation des fonctions
La lecture qui fait dérailler tout le chapitre, c'est f(x) lu comme f fois x. Une machine avec une fente ne se multiplie par rien : voilà pourquoi l'image l'emporte sur l'explication.
Dernière mise à jour
Presque tout le monde rencontre f(x) et le lit comme f fois x. Ce n'est pas de la négligence : partout ailleurs en algèbre, deux choses écrites côte à côte sont multipliées. 2x l'est. a(b+c) l'est.
Le remède n'est donc pas un avertissement, mais une autre image : une machine dans laquelle on laisse tomber un nombre.
Remarquez les parenthèses autour de l'entrée. f(x) n'est pas f fois x : c'est le nom de la machine suivi de ce que vous y avez glissé.
Le nom, puis ce que vous y avez mis
Lisez f(3) à voix haute « f de 3 », pas « f trois ». Le f est le nom de la machine et les parenthèses contiennent ce qui est entré. Rien n'est multiplié, car une machine n'est pas une quantité.
Une fois cette image en tête, la notation gagne sa place. Elle enregistre deux faits dans un seul symbole - ce qui est entré et ce qui est sorti - ce que y seul ne peut pas faire. Écrire y = 7 donne une sortie ; écrire f(2) = 7 donne la sortie et l'entrée qui l'a produite.
Cela permet aussi à plusieurs fonctions de partager une page sans collision. Si f et g sont là, f(2) et g(2) sont sans ambiguïté là où deux y ne le seraient pas.
Calculer : substituer, entre parenthèses
Pour obtenir f(3), remplacez chaque x de la règle par 3 - et mettez ce 3 entre parenthèses en le faisant.
Avec f(x) = 2x + 1 :
f(3) = 2(3) + 1 = 7
Les parenthèses paraissent tatillonnes avec un nombre positif. Elles cessent de l'être dès que l'entrée est négative :
f(-2) = 2(-2) + 1 = -3
Sans elles, on écrit 2 - 2 + 1 et on trouve 1, qui n'est la réponse à rien. Cette seule habitude supprime la plupart des erreurs de signe du chapitre.
L'entrée n'a pas non plus besoin d'être un nombre. Donner a + 1 à la machine donne f(a+1) = 2(a+1) + 1 = 2a + 3 : la même substitution, faite avec un bloc au lieu d'un chiffre.
Chaque valeur est un point
Donnez quelques entrées à la machine et notez les couples :
| x | f(x) | comme point |
|---|---|---|
| -2 | -3 | (-2, -3) |
| 0 | 1 | (0, 1) |
| 3 | 7 | (3, 7) |
Ces couples sont des coordonnées : les sorties d'une fonction forment donc une image.
Voilà pourquoi f(x) = 2x + 1 et y = 2x + 1 tracent la même droite. C'est la même règle ; la notation fonctionnelle garde simplement le nom de l'entrée attaché.
f(7) et f(x) = 7 sont des questions inverses
Cette distinction mérite qu'on ralentisse.
f(7) donne un 7 à la machine et demande ce qui sort. C'est une substitution, et cela tient en une ligne.
f(x) = 7 dit que quelque chose est sorti à 7 et demande ce qui est entré. C'est une équation à résoudre :
Donc f(4) = 9. Aller dans le sens direct est de l'arithmétique ; revenir en arrière est de l'algèbre, et la notation est presque identique dans les deux sens - raison précise pour laquelle il vaut la peine de nommer la différence une fois.
À vous
Si f(x) = 2x + 1, que vaut f(-4) ?
Si vous avez trouvé -3 ou 9, regardez les parenthèses : l'entrée doit être multipliée par 2, pas ajoutée ni retranchée.
Deux mots que vous croiserez ensuite
L'ensemble des entrées qu'une machine accepte est son ensemble de définition ; l'ensemble des sorties qu'elle peut produire est son image. Les deux s'écrivent en général en notation d'intervalles, et les deux sont des questions sur la machine, pas sur un nombre particulier qu'on y a mis.
Questions fréquentes
- Que signifie f(x) ?
- C'est la sortie de la fonction nommée f quand on lui donne x. Le f est un nom, comme l'étiquette d'une machine, et les parenthèses contiennent ce que l'on y met. Ce n'est pas f multiplié par x : ici les parenthèses veulent dire « appliquée à », pas « fois ».
- Comment calcule-t-on f(3) ?
- Remplacez chaque x de la règle par 3, entre parenthèses, puis calculez. Si f(x) = 2x + 1, alors f(3) = 2(3) + 1 = 7. Garder les parenthèses autour du nombre est ce qui empêche une entrée négative de mal tourner : f(-2) = 2(-2) + 1 = -3, alors que les supprimer invite à écrire 2 - 2 + 1.
- Pourquoi écrire f(x) plutôt que y ?
- Parce que cela dit quelle entrée a produit la sortie. Avec y on peut écrire y = 5 mais pas que ce 5 vient de x = 2 ; avec la notation fonctionnelle, f(2) = 5 porte les deux faits dans un seul symbole. Cela permet aussi à plusieurs fonctions - f, g, h - de coexister sans confondre leurs sorties.
- Quelle différence entre f(x) = 7 et f(7) ?
- Ce sont deux questions inverses. f(7) donne un 7 à la machine et demande ce qui sort. f(x) = 7 dit que quelque chose est sorti à 7 et demande ce qui est entré, ce qui suppose de résoudre une équation plutôt que de substituer. Confondre les deux est la deuxième erreur la plus fréquente du chapitre.
- Puis-je utiliser d'autres lettres que f et x ?
- Oui, et vous le ferez. f, g et h sont conventionnelles pour les fonctions et x pour l'entrée, mais rien ne dépend des lettres : g(t) = 3t nomme une fonction g d'entrée t et se comporte pareil. Les problèmes appliqués choisissent souvent des lettres parlantes, comme h(t) pour une hauteur après t secondes.
À vous de le faire, pour de vrai
Lire le calcul de quelqu'un d'autre n'est pas la même chose que savoir le faire. Le cours de maths de Coddy vous installe sur un tableau qui vérifie chacun de vos gestes : vous voyez donc où vous en êtes réellement.
Envie de l'essayer avec vos propres nombres ?
Equation Solver Ouvrir la calculatrice