סינוס, קוסינוס וטנגנס
- sin θ = a / c
- cos θ = b / c
- tan θ = a / b
a הניצב שמול הזוויתb הניצב שליד הזוויתc יתר
זהויות טריגונומטריות
כל הנוסחאות בטריגונומטריה בדף אחד: שלושת היחסים, הזהויות שנובעות מהם, נוסחאות הזוויות, משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים, רדיאנים וגרפים.
עודכן לאחרונה
כל הנוסחאות בטריגונומטריה בעמוד אחד: שלושת היחסים, הזהויות, נוסחאות הזוויות, המשפטים לכל משולש, רדיאנים וגרפים. לכל סימן יש שם מתחת לנוסחה שלו. עברו למצב בוחן כדי להסתיר את הנוסחאות ולבחון את עצמכם, או הדפיסו את הדף כולו.
יחסים טריגונומטריים
זהויות ההופכי
- csc θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
זהויות המנה
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
זוויות מיוחדות
זוויתsincostan
0°010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210—
זהויות
זהויות פיתגוריות
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
זהויות זוגיות ואי־זוגיות
- sin(−θ) = −sin θ
- cos(−θ) = cos θ
- tan(−θ) = −tan θ
זהויות של זוויות משלימות
- sin(90° − θ) = cos θ
- cos(90° − θ) = sin θ
- tan(90° − θ) = cot θ
נוסחאות זוויות
נוסחאות סכום והפרש זוויות
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
נוסחאות זווית כפולה
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ − sin²θ
- cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)
נוסחאות חצי זווית
- sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
נוסחאות הורדת חזקה
- sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
- cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
ממכפלה לסכום
- sin A sin B = ½[cos(A − B) − cos(A + B)]
- cos A cos B = ½[cos(A − B) + cos(A + B)]
- sin A cos B = ½[sin(A + B) + sin(A − B)]
מסכום למכפלה
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- cos A − cos B = −2 sin((A + B)/2) sin((A − B)/2)
משולשים
משפט הסינוסים
- a / sin A = b / sin B = c / sin C
A, B, C זוויותa, b, c הצלעות שמולן
משפט הקוסינוסים
- c² = a² + b² − 2ab cos C
A, B, C זוויותa, b, c הצלעות שמולן
שטח משולש
- שטח
- A = ½ab sin C
C הזווית בין הצלעות a ו־b
רדיאנים וגרפים
רדיאנים, קשתות וגזרות
- 180° = π rad
- ממעלות לרדיאנים
- θ(rad) = θ(°) · π / 180°
- אורך קשת
- s = rθ
- שטח גזרה
- A = ½r²θ
r רדיוסθ זווית ברדיאניםs אורך קשת
גרפים של סינוס וקוסינוס
- y = A sin(Bx − C) + D
- משרעת
- |A|
- מחזור
- 2π / |B|
- הזזת מופע
- C / B
- קו האמצע
- y = D
הכול מתחיל בשלושה יחסים
במשולש ישר זווית, בוחרים אחת משתי הזוויות החדות וקוראים לה θ. הצלע שמולה היא הניצב שמול הזווית, הצלע שלידה היא הניצב שליד הזווית, והצלע הארוכה ביותר היא היתר. אז:
- sin θ = ניצב מול / יתר
- cos θ = ניצב ליד / יתר
- tan θ = ניצב מול / ניצב ליד
כמעט כל שורה אחרת בדף היא אחד משלושת אלה, בסידור אחר.
הזהויות הן עובדה אחת, מחולקת
שמים את המשולש בתוך מעגל ברדיוס 1. היתר הוא 1, ולכן שני הניצבים הם בדיוק cos θ ו־sin θ, ומשפט פיתגורס נותן sin²θ + cos²θ = 1.
השורה הזו נותנת את שתי האחרות. מחלקים כל איבר ב־cos²θ ומקבלים tan²θ + 1 = sec²θ; מחלקים במקום זה ב־sin²θ ומקבלים 1 + cot²θ = csc²θ. העמוד מעגל היחידה מראה את המשולש נע סביב המעגל.
נוסחאות הזוויות נובעות משתיים
לומדים את נוסחאות הסכום של סינוס וקוסינוס. כל מה שבחלק של נוסחאות הזוויות נובע מהן:
- זווית כפולה: מציבים B = A בנוסחת הסכום, ו־sin(A + A) הופך ל־2 sin A cos A.
- הורדת חזקה: פותרים את cos 2θ = 1 − 2sin²θ עבור sin²θ.
- חצי זווית: נוסחת הורדת החזקה כש־θ כתובה כחצי מ־2θ, ואחר כך הוצאת שורש.
- הפרש: מחליפים את B ב־−B ומשתמשים בזהויות הזוגיות והאי־זוגיות.
כל משולש, לא רק ישר זווית
היחסים צריכים זווית ישרה. בכל משולש אחר, מסמנים כל זווית באות גדולה ואת הצלע שמולה באותה אות קטנה. אז:
- משפט הסינוסים מקשר כל צלע לזווית שמולה. משתמשים בו כשיודעים צלע ואת הזווית שמולה.
- משפט הקוסינוסים הוא משפט פיתגורס עם תיקון לזווית: כש־C = 90°, מתקיים cos C = 0 והמשפט הופך ל־c² = a² + b². משתמשים בו כשיודעים שתי צלעות והזווית שביניהן, או את שלוש הצלעות.
מעלות ורדיאנים
סיבוב שלם הוא 360°, או 2π רדיאנים, ולכן 180° = π רדיאנים. הזהויות נכונות בשתי היחידות. אורך הקשת s = rθ ושטח הגזרה A = ½r²θ דורשים θ ברדיאנים: זה מה שהופך אותם לקצרים כל כך.
נסו אחד
לאן ממשיכים
כדי לראות מאיפה הערכים האלה מגיעים, קראו את SOHCAHTOA ואת מעגל היחידה. בדף הנוסחאות בגאומטריה יש את נוסחאות השטח, הנפח והגאומטריה האנליטית.
שאלות נפוצות
יש דף זהויות טריגונומטריות להדפסה?
כן. כל מה שבעמוד הזה זמין גם בחינם כקובץ PDF בגודל A4 וכתמונת PNG. כפתורי ההורדה נמצאים מעל הדף ושוב מתחתיו.
מהן שלוש הזהויות הפיתגוריות?
sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ ו־1 + cot²θ = csc²θ. רק את הראשונה שווה לזכור בעל פה: מחלקים אותה ב־cos²θ ומקבלים את השנייה, וב־sin²θ ומקבלים את השלישית.
מתי משתמשים במשפט הסינוסים ומתי במשפט הקוסינוסים?
משתמשים במשפט הסינוסים כשיודעים זווית ואת הצלע שמולה, ועוד צלע או זווית אחת. משתמשים במשפט הקוסינוסים כשיודעים שתי צלעות והזווית שביניהן, או את שלוש הצלעות. במשולש ישר זווית לא צריך אף אחד מהם: היחסים sin, cos ו־tan מספיקים.
אילו נוסחאות בטריגונומטריה כדאי לזכור בעל פה?
את שלושת היחסים, את sin²θ + cos²θ = 1 ואת נוסחאות הסכום של sin ושל cos. נוסחאות הזווית הכפולה הן נוסחאות הסכום עם B = A, נוסחאות חצי הזווית והורדת החזקה נובעות מנוסחאות הזווית הכפולה, וזהויות ההופכי והמנה הן הגדרות.
הנוסחאות עובדות גם במעלות וגם ברדיאנים?
כן, כל זהות נכונה בשתי היחידות. רק הנוסחאות שמערבות זווית עם אורך צריכות רדיאנים: אורך הקשת s = rθ ושטח הגזרה A = ½r²θ נכונים רק כש־θ ברדיאנים.
