ריבוע
- שטח
- A = s²
- היקף
- P = 4s
s צלע
נוסחאות בגאומטריה
כל נוסחה שמשתמשים בה בשיעורי גאומטריה, בדף אחד: שטח והיקף, מעגלים, משולשים, נפח ושטח פנים וגאומטריה אנליטית, כל אחת עם שרטוט וכל סימן עם שם.
עודכן לאחרונה
כל נוסחה שמשתמשים בה בשיעורי גאומטריה, בעמוד אחד. לכל צורה יש שרטוט, כך שרואים איזה אורך הוא הבסיס ואיזה הוא הגובה, ולכל סימן יש שם מתחת לנוסחה. עברו למצב בוחן כדי להסתיר את הנוסחאות ולבחון את עצמכם, או הדפיסו את הדף כולו.
שטח והיקף
מלבן
- שטח
- A = lw
- היקף
- P = 2l + 2w
l אורךw רוחב
משולש
- שטח
- A = ½bh
- היקף
- P = a + b + c
b בסיסh גובהa, b, c צלעות
מקבילית
- שטח
- A = bh
- היקף
- P = 2a + 2b
b בסיסh גובהa צלע
טרפז
- שטח
- A = ½(a + b)h
a, b הבסיסים המקביליםh גובה
מעוין
- שטח
- A = ½d₁d₂
- היקף
- P = 4s
d₁, d₂ אלכסוניםs צלע
מצולע משוכלל
- שטח
- A = ½aP
- סכום הזוויות הפנימיות
- S = (n − 2) · 180°
- כל זווית פנימית
- (n − 2) · 180° / n
a אפותמהP היקףn מספר הצלעות
מעגלים
משולשים
משפט פיתגורס
- a² + b² = c²
a, b ניצביםc יתר
זוויות
- זוויות המשולש
- α + β + γ = 180°
- זוויות משלימות ל־90°
- α + β = 90°
- זוויות משלימות ל־180°
- α + β = 180°
משולשים ישרי זווית מיוחדים
- צלעות 30-60-90
- x : x√3 : 2x
- צלעות 45-45-90
- x : x : x√2
משולש שווה צלעות
- שטח
- A = (√3 / 4)s²
- גובה
- h = (√3 / 2)s
s צלע
נוסחת הרון
- שטח
- A = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
- s = (a + b + c) / 2
a, b, c צלעותs חצי ההיקף
נפח ושטח פנים
קובייה
- נפח
- V = s³
- שטח פנים
- SA = 6s²
s צלע
תיבה
- נפח
- V = lwh
- שטח פנים
- SA = 2(lw + lh + wh)
l אורךw רוחבh גובה
מנסרה
- נפח
- V = Bh
- שטח פנים
- SA = 2B + Ph
B שטח הבסיסP היקף הבסיסh גובה
גליל
- נפח
- V = πr²h
- שטח פנים
- SA = 2πr² + 2πrh
r רדיוסh גובה
חרוט
- נפח
- V = ⅓πr²h
- שטח פנים
- SA = πr² + πrℓ
- ℓ = √(r² + h²)
r רדיוסh גובהℓ גובה צדדי
פירמידה
- נפח
- V = ⅓Bh
- שטח פנים
- SA = B + ½Pℓ
B שטח הבסיסP היקף הבסיסh גובהℓ גובה צדדי
כדור
- נפח
- V = ⁴⁄₃πr³
- שטח פנים
- SA = 4πr²
r רדיוס
גאומטריה אנליטית
נוסחת המרחק
- d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
(x₁, y₁), (x₂, y₂) שתי הנקודות
אמצע קטע
- M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
(x₁, y₁), (x₂, y₂) שתי הנקודות
שיפוע
- m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
- ישרים מקבילים
- m₁ = m₂
- ישרים מאונכים
- m₁ · m₂ = −1
m שיפוע
משוואת ישר
- לפי שיפוע וחיתוך
- y = mx + b
- לפי נקודה ושיפוע
- y − y₁ = m(x − x₁)
m שיפועb נקודת החיתוך עם ציר y
איך קוראים את הדף
מוצאים את הצורה, ואז מתאימים כל אות בנוסחה לשרטוט. האותיות הן המקובלות בספרי הלימוד: b לבסיס, h לגובה, r לרדיוס. גובה נמדד תמיד בזווית ישרה לבסיס, ולכן השרטוטים מציירים אותו בקו מקווקו עם ריבוע קטן: בצורה משופעת כמו מקבילית, הגובה הוא לא הצלע המשופעת.
B גדולה פירושה שטח של בסיס, לא אורך. ב־V = Bh מוצאים קודם את השטח של הפאה שבקצה (משולש, מעגל, כל צורה), ואז כופלים בגובה.
שטח, היקף ונפח עונים על שאלות שונות
ניקח מלבן של 3 cm על 4 cm. ההיקף שלו הוא המרחק מסביבו: 3 + 4 + 3 + 4 = 14 cm. השטח שלו הוא כמה ריבועים של 1 cm נכנסים בתוכו: 3 · 4 = 12 cm². הופכים אותו לתיבה בגובה 5 cm, והנפח הוא כמה קוביות של 1 cm נכנסות בתוכה: 3 · 4 · 5 = 60 cm³.
היחידות אומרות איזו נוסחה צריך. אורך כפול אורך הוא שטח; אורך כפול אורך כפול אורך הוא נפח. אם תשובה לשאלה על נפח יוצאת ביחידות ריבועיות, חסר גורם.
יש פחות נוסחאות ממה שנראה
רוב הדף הוא כמה רעיונות בודדים שחוזרים על צורות שונות.
- משולש הוא חצי מקבילית. שני עותקים של כל משולש מתחברים למקבילית עם אותו בסיס ואותו גובה, ולכן השטח הוא ½bh.
- טרפז הוא מלבן ברוחב הממוצע. השטח שלו, ½(a + b)h, הוא הממוצע של שני הבסיסים המקבילים כפול הגובה.
- כל גוף עם אותו חתך לכל הגובה הוא בסיס כפול גובה. קובייה, תיבה, מנסרה וגליל משתמשים כולם ב־V = Bh; רק שטח הבסיס משתנה.
- כל גוף שמסתיים בקודקוד הוא שליש. חרוט ופירמידה מכילים שליש מהגליל או מהמנסרה שסביבם, ולכן V = ⅓Bh.
- במעגלים הכול סובב סביב π. ההיקף הוא 2πr, השטח הוא πr², וקשת או גזרה הן אותו חלק מהם שהזווית שלהן היא מ־360°.
דוגמה פתורה
פחית בגובה 10 cm עם רדיוס של 3 cm. כמה היא מכילה?
זה גליל, ולכן V = πr²h. הבסיס הוא מעגל ששטחו π · 3² = 9π, והגובה הוא 10, ולכן הנפח הוא 90π, בערך 283 cm³. זה 283 ml: קצת פחות מפחית משקה רגילה של 330 ml.
נסו אחד
לאן ממשיכים
הנוסחאות אומרות מה לחשב, ומחשבון משפט פיתגורס ומחשבון הנפח יעשו את החישוב ויראו כל שלב. לזוויות וליחסים שבתוך משולשים, העמוד הבא הוא דף הנוסחאות בטריגונומטריה.
שאלות נפוצות
יש דף נוסחאות בגאומטריה להדפסה?
כן. הדף שבעמוד הזה זמין גם בחינם כקובץ PDF בגודל A4 וכתמונת PNG, עם אותם שרטוטים ואותן נוסחאות. כפתורי ההורדה נמצאים מעל הדף ושוב מתחתיו.
מה ההבדל בין שטח לשטח פנים?
שטח מודד צורה שטוחה: כמה נייר מלבן מכסה. שטח פנים מודד את החלק החיצוני של גוף: כמה נייר צריך כדי לעטוף קופסה. שטח הפנים של תיבה הוא סכום השטחים של שש הפאות שלה, ומשם מגיעה הנוסחה SA = 2(lw + lh + wh).
למה הנפח של חרוט הוא שליש מהנפח של גליל?
חרוט נכנס בתוך גליל עם אותו בסיס ואותו גובה, והוא מכיל בדיוק שליש ממנו: ממלאים את החרוט במים שלוש פעמים, והגליל מתמלא. אותו שליש מופיע גם בפירמידה שבתוך מנסרה, ולכן V = (1/3)Bh מתאימה לשתיהן.
אילו נוסחאות בגאומטריה כדאי לזכור בעל פה?
פחות ממה שהדף מרמז. לומדים את המלבן, את המשולש (חצי מלבן), את המעגל, את V = Bh לכל גוף עם דפנות ישרות וחתך זהה לכל הגובה, ואת השליש לכל גוף שמסתיים בקודקוד. רוב השאר הן אותן נוסחאות עם בסיס מסוים שהוצב בהן.
באילו יחידות מודדים שטח ונפח?
אורכים והיקפים ביחידות אורך רגילות (cm), שטחים ביחידות ריבועיות (cm²) ונפחים ביחידות מעוקבות (cm³). בדיקת היחידות היא הדרך המהירה ביותר לתפוס נוסחה שגויה: אם נפח יצא ב־cm², נשמט אורך אחד.
רוצים להריץ את זה על המספרים שלכם?
מחשבון נפח פתיחת המחשבון