Küme Gösterimi
Küme gösterimi küçük bir alfabedir: süslü parantez bir kümeyi listeler, ∈ bir elemanın ona ait olduğunu söyler, ∪ iki kümeyi birleştirir, ∩ ortak kısımlarını tutar, üs işareti de geri kalan her şeyi gösterir. Her sembol bir Venn şemasının bir bölgesidir.
Son güncelleme
Bir küme, eleman denen birbirinden farklı şeylerin topluluğudur. Küme gösterimi, bir kümeyi listelemek, ona neyin ait olduğunu söylemek ve iki kümeyi birleştirip üçüncüsünü elde etmek için kullanılan bir avuç semboldür. Sayıları bir düzineyi bulmaz ve her biri bir Venn şemasının bir bölgesini adlandırır.
Burada A, 12'nin bölenleri, B ise çift sayılardır; evrensel küme U = {1, 2, ..., 12}'dir. Bir işlem seç ve hangi bölgeyi taradığını izle.
- U = {1, 2, ..., 12}
- 1'den 12'ye kadar doğal sayılar
- A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
- 12'nin bölenleri
- B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
- çift sayılar
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
Okunuşu A birleşim B
A'da, B'de ya da ikisinde birden olan her şey.
8 eleman
Semboller
| sembol | adı | nasıl okunur | yukarıdaki kümelerle örnek |
|---|---|---|---|
| { } | süslü parantez | "şunların kümesi" | A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} |
| ∈ | elemanıdır | "içindedir" | 6 ∈ A |
| ∉ | elemanı değildir | "içinde değildir" | 5 ∉ A |
| ⊆ | alt kümesidir | "alt kümesidir" | {2, 4} ⊆ B |
| ∪ | birleşim | "A birleşim B" | A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} |
| ∩ | kesişim | "A kesişim B" | A ∩ B = {2, 4, 6, 12} |
| \ | fark | "A fark B" | A \ B = {1, 3} |
| A′ | tümleyen | "A tümleyen" ya da "A olmayan" | A′ = {5, 7, 8, 9, 10, 11} |
| △ | simetrik fark | "A simetrik fark B" | A △ B = {1, 3, 8, 10} |
| ∅ | boş küme | "boş küme" | A ∩ {5, 7} = ∅ |
| U | evrensel küme | "evrensel küme" | üzerinde konuşulan her şey |
Son sütundaki her cevap yukarıdaki şemada kontrol edilebilir ve bunu bir kez elle yapmaya değer: A ile B'yi listele, sonra her işlemi iki listeden oku.
Bir kümeyi yazmak
Liste yöntemi elemanları süslü parantezler arasında sıralar: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Onunla iki kural gelir. Sıra önemli değildir, tekrarlar da; yani {1, 2, 3}, {3, 2, 1} ve {1, 1, 2, 3} aynı kümedir.
Ortak özellik yöntemi ise elemanları bir kuralla anlatır:
A = {x ∈ ℕ | 12/x ∈ ℕ}
Bunu "12 bölü x'in de doğal sayı olduğu x doğal sayılarının kümesi" diye oku. Dikey çizgi "öyle ki" anlamına gelir; bazı kitaplar onun yerine iki nokta kullanır. Ortak özellik yöntemi, sonsuz sayıda elemanı olan bir kümeyi yazmanın tek yoludur; örneğin {x ∈ ℝ | x > 3}, ki aralık gösterimi bunu (3, ∞) olarak kısaltır.
Sayı kümelerinin kendi harfleri vardır: doğal sayılar için ℕ, tam sayılar için ℤ, rasyonel sayılar için ℚ ve gerçek sayılar için ℝ.
İki kümeyi birleştirmek
Dört işlem neredeyse her soruyu karşılar:
- Birleşim, A ∪ B: A'da ya da B'de ya da ikisinde birden olan her şey. "Veya" kelimesidir. Hiçbir şey iki kez yazılmaz; 2, 4, 6 ve 12 iki kümede de olsa bir kez görünür.
- Kesişim, A ∩ B: yalnızca aynı anda iki kümede de olan. "Ve" kelimesidir.
- Fark, A \ B: A'da olup B'de olmayan. Sıra önemlidir, çünkü B \ A = {8, 10} iken A \ B = {1, 3}'tür. Bazı kitaplar onu eksi işaretiyle yazar.
- Tümleyen, A′: evrensel kümede olup A'da olmayan her şey. Evrensel küme olmadan tümleyen tanımlı değildir; her Venn şemasının çevresinde bir dikdörtgen olmasının nedeni budur.
Simetrik fark, A △ B, kesişimi çıkarılmış birleşimdir: iki kümeden tam olarak birinde olan elemanlar.
Elemanı mı, alt kümesi mi
Bu ikisi konunun en çok karıştırılan sembolleridir, çünkü ikisi de "içinde mi?" sorusuna cevap verir.
- ∈ bir elemanı bir kümeye bağlar: 2 ∈ A.
- ⊆ bir kümeyi bir kümeye bağlar: {2} ⊆ A.
"2 ⊆ A" yazmak yanlıştır, çünkü 2 bir sayıdır, küme değil; "{2} ∈ A" yazmak da tersi nedenle yanlıştır, çünkü A, {2} kümesini değil 2 sayısını içerir.
Bir küme, her elemanı ötekinde de varsa ötekinin alt kümesidir. Tek bir eksik eleman bunu yanlış yapmaya yeter: A, B'nin alt kümesi değildir, çünkü 1 A'dadır ama B'de değildir. Boş küme her kümenin alt kümesidir, çünkü eksik olabilecek hiçbir elemanı yoktur.
Venn şemasıyla saymak
Bir kümenin eleman sayısı dikey çizgilerle yazılır: |A| = 6 (Türkçe ders kitapları bunu çoğu zaman s(A) olarak yazar). Bir birleşimi saymak için iki kümeyi topla ve iki kez sayılan ortak kısmı çıkar:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Yukarıdaki kümelerle bu 6 + 6 eksi 4, yani 8 eder; birleşimi doğrudan saymakla aynı sonuç. Bu, içerme dışlama ilkesidir ve "kaç öğrenci Fransızca ya da İspanyolca alıyor" gibi anket sorularının cevabı böyle bulunur.
Cevap 18 + 12 eksi 5, yani 25'tir. 30 bulduysan, ikisini birden oynayan 5 öğrenci iki kez sayılmıştır.
Kümeler ve mantık aynı şeydir
Birleşim "veya", kesişim "ve", tümleyen "değil"dir. Bu gevşek bir benzetme değildir: bir eleman, "A'dadır ve B'dedir" önermesi doğru olduğunda ve ancak o zaman A ∩ B'dedir. Ayrık matematik sayfası bu kelimelerin doğruluk tablolarını kurar ve aynı Venn şeması ikisini de tarar.
Sık sorulan sorular
- ∈ ne anlama gelir?
- ∈, "elemanıdır" demektir. 3 ∈ A, 3'ün A kümesinin elemanlarından biri olduğunu söyler. Üzeri çizili hâli ∉, "elemanı değildir" demektir; yani 5 ∉ A, 5'in A'da olmadığını söyler. Sembol, element (eleman) kelimesinden gelen stilize bir Yunan epsilonudur.
- ∈ ile ⊆ arasındaki fark nedir?
- ∈ bir elemanı bir kümeye, ⊆ ise bir kümeyi bir kümeye bağlar. A = {1, 2, 3} ise 2 ∈ A ve {2} ⊆ A ikisi de doğrudur, ama 2 ⊆ A yanlıştır, çünkü 2 bir sayıdır, küme değil. ⊆'yi "alt kümesidir" diye oku: soldaki kümenin her elemanı sağdaki kümede de vardır.
- Ortak özellik yöntemi nedir?
- Bir kümeyi liste yerine bir kuralla anlatma yoludur. {x | x > 3}, "x'in 3'ten büyük olduğu bütün x'lerin kümesi" diye okunur. Dikey çizgi, bazı kitaplarda iki nokta, "öyle ki" anlamına gelir. Sonsuz sayıda elemanı olan bir kümeyi yazmanın tek pratik yoludur.
- Birleşim ile kesişim arasındaki fark nedir?
- A ∪ B birleşimi, A'da ya da B'de ya da ikisinde birden olan her şeyi içerir. A ∩ B kesişimi yalnızca aynı anda hem A'da hem B'de olanı içerir. Bir Venn şemasında birleşim iki dairenin tamamı, kesişim ise örtüştükleri mercek biçimli bölgedir; yani kesişim her zaman birleşimin içindedir.
- Bir kümenin tümleyeni nasıl yazılır?
- Çoğu kitap A′ (A üssü), Aᶜ ya da üzerinde çizgi olan A yazar. Üçü de aynı şeyi anlatır: evrensel küme U'nun A'da olmayan her elemanı. Tümleyen U'ya bağlıdır, bu yüzden listelemeden önce evrensel kümenin ne olduğunu her zaman kontrol et.
- ∅ ne anlama gelir?
- ∅ boş kümedir, hiç elemanı olmayan küme. {} olarak da yazılabilir. Her kümenin alt kümesidir, çünkü başka bir kümede eksik olabilecek hiçbir elemanı yoktur. {∅}'nin boş olmadığına dikkat et: tek elemanı olan bir kümedir ve o eleman boş kümedir.
- ⊂ ile ⊆ arasındaki fark nedir?
- ⊆ "alt kümesidir" demektir ve iki kümenin eşit olmasına izin verir. ⊂ genellikle öz alt küme, yani öteki kümeden küçük olan bir alt küme demektir. Kitaplar burada anlaşamaz: bazıları her alt küme için ⊂ kullanır ve öz alt kümeyi kastettiklerinde ⊊ yazar. Önemli olduğunda dersinin hangi uzlaşımı kullandığını kontrol et.
