30-60-90 Üçgeni
Yalnızca iki üçgenin kenar oranları yazılabilecek kadar tamdır; kafadan çözülebilen tek üçgenler de bunlardır. İkisi de zaten bildiğin bir şekli ikiye bölmekten çıkar.
Son güncelleme
Her dik üçgenin kenarları arasında oranlar vardır. Neredeyse hepsinde bu oranlar hesap makinesi isteyen çirkin ondalıklardır. Tam olarak ikisinde ise yazabileceğin kısa ve tam ifadelerdir; bu yüzden soru üstüne soruda karşına çıkarlar.
Aşağıda ikisi arasında geçiş yap ve boyutu da değiştir.
Kaydırıcıyı oynat. Bütün kenarlar değişir, üç açı değişmez - bu yüzden ezberlenen tek bir oran her boyuttaki üçgeni çözer.
30-60-90 nereden geliyor
Bir eşkenar üçgenle başla: üç eşit kenar, üç 60° açı. Tepe köşesinden tabanın orta noktasına doğru tam ortadan kes.
Kesim tabana dik olduğundan elinde bir dik açı olur. Tabandaki 60° açılardan biri dokunulmadan kalır. Tepedeki 60° ikiye bölünüp 30° olur. İşte 30-60-90 üçgenin; üstelik kenarlarını zaten bildiğin bir şekilden geldi.
Şimdi kenarları oku. Eşkenar üçgenin kenarı 2 idiyse yarının hipotenüsü hâlâ 2'dir ve taban 1'e inmiştir. Yükseklik Pisagor'dan gelir:
h^2 = 2^2 - 1^2 = 3, yani h = sqrt(3).
Kenarlar 1, sqrt(3) ve 2 - oran budur ve tamdır, çünkü bir ölçümden değil tam bir kurgudan gelmiştir.
Hangi kenar nereye
En çok hatayı önleyen kural: en büyük kenar en büyük açının karşısındadır.
| açı | kenar | uzunluk |
|---|---|---|
| 30° | kısa dik kenar | x |
| 60° | uzun dik kenar | x√3 |
| 90° | hipotenüs | 2x |
Yani hipotenüs kısa kenarın iki katıdır, uzun kenarın değil. Ve sqrt(3) yaklaşık 1,73 olduğundan uzun kenar diğer ikisinin arasında kalır; bu da yazdığın herhangi bir cevap için hızlı bir mantık kontrolüdür.
45-45-90, ikiye bölünmüş bir karedir
Aynı numara, farklı şekil. Kenarı 1 olan bir kare al ve köşegeni boyunca kes. Kalan iki açı 45°, iki dik kenar eşit ve köşegen hipotenüstür:
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, yani d = sqrt(2).
Oran 1 : 1 : sqrt(2). Bu üçgen karelerin olduğu her yerde çıkar: ekran köşegenleri, fayanslar, satranç tahtaları.
Eksik kenarı bulmak
Her zaman kısa kenara dön, sonra ölçekle.
Hipotenüs verilmişse. Hipotenüsü 14 olan bir 30-60-90: ikiye böl, kısa kenar 7 olur ve uzun kenar 7sqrt(3).
Uzun kenar verilmişse. Uzun kenarı 9 olan bir 30-60-90: sqrt(3)'e böl, kısa kenar 3sqrt(3) olur, dolayısıyla hipotenüs 6sqrt(3).
45-45-90'ın bir dik kenarı verilmişse. Diğer dik kenar ona eşittir ve hipotenüs o kenarın sqrt(2) katıdır.
Bunları okurken şekildeki kaydırıcıyı oynat - yukarıdaki hesaplar aynı okumanın üç farklı boyuttaki hâlinden ibaret.
Bir tane dene
Bir 30-60-90 üçgeninin kısa kenarı 6. Uzun dik kenarı kaçtır?
10,39 yerine 6sqrt(3) olarak bırak. Bir problemin sonraki adımının gerçekten kullanabileceği biçim tam biçimdir ve sınavı okuyanın aradığı da odur.
Tam trigonometrik değerler doğrudan buradan çıkar
Bu iki üçgenin kenarları tam olduğu için sinüs ve kosinüs değerleri de tamdır; her birim çember tablosundaki sayılar buradan gelir:
| açı | sin | cos |
|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | √3/2 | 1/2 |
Birinci bölgenin tamamında üç farklı değer ve 30° ile 60° aynı çiftin yer değiştirmiş hâli - ki bu, tek bir üçgenin iki dar açısından okunmasından beklenecek şeyin tam olarak kendisidir.
Sık sorulan sorular
- 30-60-90 üçgeninin kenarları nedir?
- 1 : √3 : 2 oranındadır. En kısa kenar 30 derecelik açının karşısındadır, en uzunu hipotenüstür ve kısa kenarın tam iki katıdır, kalan kenar ise kısa kenarın kök 3 katıdır. Dünyadaki her 30-60-90 üçgeni, boyutu ne olursa olsun bu oranlara sahiptir.
- 30-60-90 oranı nereden geliyor?
- Bir eşkenar üçgeni yüksekliği boyunca ikiye böl. Tabandaki 60 derecelik açılardan biri olduğu gibi kalır, tepedeki 60 ikiye bölünüp 30 olur ve kesim bir dik açı oluşturur. Taban da ikiye bölünür, yani kısa kenar özgün kenarın tam yarısıdır; hipotenüsün kısa kenarın iki katı olmasının sebebi budur. Yükseklik de Pisagor'dan çıkar.
- 45-45-90 üçgeninin kenarları nedir?
- 1 : 1 : √2 oranındadır. İki dik kenarı eşittir çünkü iki 45 derecelik açı eşittir; hipotenüs ise bir dik kenarın kök 2 katıdır. Bu, köşegeni boyunca kesilmiş bir kareye uygulanan Pisagor'dur - zaten üçgen tam olarak odur.
- Özel bir üçgende eksik kenarı nasıl bulurum?
- Önce kısa kenara geri dön, sonra ölçekle. 30-60-90'ın hipotenüsü verilmişse ikiye böl, kısa kenarı bulursun; uzun dik kenar verilmişse kök 3'e böl. Kısa kenar bilindikten sonra diğer ikisi onun kök 3 katı ve 2 katıdır.
- Hesap makinesi varken bunları neden ezberleyeyim?
- Çünkü bu cevaplar tamdır, hesap makinesininkiler değildir. Doğru sonuç 5√3 iken makine 8,660254 verir; oysa bir sonraki adımın ihtiyaç duyduğu şey tam değerdir: sadeleştirmek, kısaltmak ya da cevabı köklü biçimde bırakmak. Ayrıca sınavlar bu iki üçgeni sürekli kullanır, tam da hesap makinesiz cevaplanabildikleri için.
Şimdi kendin yap, gerçekten
Başkasının çözümünü okumak, o işi yapabilmekle aynı şey değil. Coddy matematik kursu seni her hamleni denetleyen bir tahtaya oturtuyor; böylece gerçekte nerede olduğunu görüyorsun.
