En Uygun Doğru

Gerçek bir veriyi işaretle, noktalar tek bir doğru üzerinde durmayı reddeder. Yine de buluttan eğilimi yakalayan bir doğru geçirebilirsin ve elinde cetvel olan farklı kişiler biraz farklı doğrular çizer. En uygun doğru bu tartışmayı bitirir: kesin bir ölçüye göre en iyi olan tek bir doğru ve onu bulan bir formül vardır.

Aşağıdaki herhangi bir noktayı sürükle; doğru en iyi uyumu korumak için yer değiştirir. Bir noktayı ötekilerden çok uzağa çek ve doğruyu kendine ne kadar güçlü çektiğine dikkat et.

"En iyi" ne demek

Bir doğru her noktayı düşey bir uzaklıkla ıskalar: noktanın gerçek y'si eksi doğrunun o x'te tahmin ettiği y. Bu uzaklık noktanın artığıdır. İyi bir doğru artıkları küçük tutmalıdır, ama onları öylece toplayamazsın, çünkü doğrunun üstündeki ıskalamalar pozitif, altındakiler negatiftir ve birbirini götürür.

Bu yüzden önce her artığın karesi alınır; böylece her ıskalama sayılır ve büyük bir ıskalama küçük birinden çok daha fazla sayılır. En uygun doğru, artıkların kareleri toplamını olabildiğince küçük yapan doğrudur. Ona en küçük kareler doğrusu denmesinin nedeni budur ve x değerlerinin hepsi aynı olmayan her nokta kümesi için tam olarak bir tane vardır.

İki formül

Doğruyu y = mx + b olarak yaz; verinin ortalamaları x̄ ve ȳ olsun. Kareler toplamını en aza indirmek eğimi ve kesim noktasını doğrudan verir:

m = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / Σ(x - x̄)²

b = ȳ - m x̄

Eğim formülünün payı, korelasyon katsayısının payında duran çarpımlar toplamının aynısıdır; eğim ile r'nin işaretinin hep aynı olmasının nedeni budur. Payda yalnızca x'i içerir: x değerlerinin ne kadar yayıldığını ölçer.

Çözümlü bir örnek

Beş nokta: x = 2, 4, 6, 8, 10 ve y = 3, 7, 8, 12, 15. x'in ortalaması 6, y'nin ortalaması 9'dur.

Eğim m = 58/40 = 29/20, yani 1.45'tir. Kesim noktası için ortalamalar noktasını doğruya koy ve b'yi çöz:

9 = (29/20)(6) + b

Yani b = 3/10 ve en uygun doğru y = 1.45x + 0.3'tür. Doğrusal regresyon hesaplama aracı aynı işi formüllerin toplamlarla çalışan biçimiyle yapar ve her toplamı gösterir.

Her zaman ortalamalar noktasından geçer

Kesim noktası formülünü yeniden düzenlersen ȳ = m x̄ + b elde edersin. Bu, veri ne olursa olsun (x̄, ȳ) noktasının tam olarak doğru üzerinde olduğunu söyler. Örnekte 1.45 × 6 + 0.3 = 9.

Bu, hesapladığın her doğru için işe yarar bir kontroldür; gözle bir doğru çizerken de işe yarar bir başlangıçtır: önce ortalamalar noktasını işaretle, sonra noktalar iki yanda dengelenene kadar cetveli onun çevresinde döndür.

Yine de ortalamalar noktasından geçmek tek başına yetmez. x = 1, 2, 3, 4, 5 ve y = 2, 4, 5, 4, 5 için ortalamalar noktası (3, 4)'tür ve en küçük kareler doğrusu, artıkların kareleri toplamı 2.4 olan y = 0.6x + 2.2'dir. y = 0.5x + 2.5 ve y = x + 1 doğruları da (3, 4)'ten geçer; kareler toplamları 2.5 ve 4'tür. O noktadan geçen bütün doğrular içinde yalnızca 0.6 eğimli olan 2.4'e iner.

Doğruyla tahmin yapmak

Doğru elindeyse tahmin bir yerine koymadır. y = 1.45x + 0.3 ile x = 7, 1.45 × 7 + 0.3 = 10.45 verir.

Bu tahmin bir ara değer kestirimidir (interpolasyon): 7 verinin içindedir, 6 ve 8'deki noktaların arasında; yani eğilimin orada sürdüğüne iki yandan da kanıt vardır. Verinin aralığı dışındaki bir tahmin ise bir dış değer kestirimidir (ekstrapolasyon) ve verilerde onu destekleyen hiçbir şey yoktur.

Somut bir durum. Altı öğrenci 1'den 6'ya kadar saat çalıştı ve 52, 58, 61, 67, 70 ve 76 aldı. En uygun doğru y = 162/35x + 47.8'dir; eğimi saat başına yaklaşık 4.63 puan, r ≈ 0.9959. Verinin içinde iyi tahmin eder: 4.5 saat yaklaşık 68.63 verir. 12 saate taşı, 100 üzerinden değerlendirilen bir sınavda yaklaşık 103.34 tahmin eder. Doğruda sorun yok; tarif ettiği eğilim verinin ötesinde bir yerde duruyor ve doğru bunun nerede olduğunu bilemez.

Düz doğrunun yanlış biçim olduğu yerler

En uygun doğru, düz bir doğru yanlış model olsa bile her zaman vardır. x = 0'dan 5'e 0, 1, 4, 9, 16, 25 karelerinin en uygun doğrusu r ≈ 0.9599 ile y = 5x - 10/3'tür; kulağa mükemmel gelir, yine de noktalar bir eğri üzerindedir. Artıklar bunu ele verir: iki uçta pozitif, ortada negatif. Artıklar sayfası bu örüntünün nasıl okunacağını gösterir, ikinci dereceden regresyon hesaplama aracı ise bunun yerine eğriyi uydurur.

Bir tane dene

En uygun doğru y = 1.45x + 0.3. x = 4 için ne tahmin eder?

x = 4'teki gerçek nokta (4, 7)'dir, yani doğru onu 0.9 ıskalar. O ıskalama noktanın artığıdır ve beş ıskalamanın kareleri toplamı olan 1.9, bu noktalar için herhangi bir düz doğrunun ulaşabileceği en küçük değerdir.