SOHCAHTOA
Karşı ve komşu bir kenarın özelliği değildir; bir kenarın bir açıya göre özelliğidir. SOHCAHTOA hatalarının neredeyse tamamı, bu cümlenin yerine oturmamış olmasıdır.
Son güncelleme
SOHCAHTOA, insanların çoğunun zaten yarı yarıya bildiği bir şey için iyi bir hatırlatıcıdır ve asıl yanlış giden şeye hiçbir faydası yoktur. Hata neredeyse hiçbir zaman harfler değildir. Hata, "karşı" ve "komşu" sözcüklerinin üçgenin üzerine boyanmış etiketler gibi görülmesidir; oysa bunlar tamamen hangi açıda durduğuna bağlıdır.
Aşağıdaki üçgeni değiştir, sonra işaretli açıyı A'dan B'ye al ve tek bir çizgi kımıldamadan etiketlerin yer değiştirdiğini gör.
İşaretli açıyı değiştir. Üçgen kımıldamaz ama karşı ile komşu yer değiştirir - bu iki kelimenin yanında hep bir açı gerekmesinin sebebi budur.
Kenarları sayfadan değil, açıdan adlandır
Hipotenüs kolay olanıdır: her zaman en uzun kenar, her zaman dik açının karşısındaki kenar ve hangi dar açıdan bakarsan bak hiç değişmez.
Diğer ikisi değişir:
- karşı kenar, açına değmeyen kenardır;
- komşu kenar, açına değen dik kenardır.
Adlandırma kuralının tamamı bu; şeklin A/B düğmesi de bu yüzden var. 3-4-5 üçgeninde 4 uzunluğundaki kenar bir açının karşısı, diğerinin komşusudur. "4 karşı kenar mıdır" diye sormak, bir açı adlandırılmadan cevabı olmayan bir sorudur.
Üç oran
Kenarlar adlandırıldıktan sonra hatırlatıcı nihayet bir anlam kazanır:
| oran | nedir | hatırlatıcı |
|---|---|---|
| sinüs | karşı bölü hipotenüs | SOH |
| kosinüs | komşu bölü hipotenüs | CAH |
| tanjant | karşı bölü komşu | TOA |
İkisi hipotenüsü kullanır; tanjant tuhaf olanıdır ve hipotenüsü hiç kullanmaz. Seçimde en hızlı yol genelde budur: soruda hipotenüs hiç geçmiyorsa tanjant istiyorsun demektir.
Boyut neden önemsizdir
Trigonometriyi mümkün kılan gerçek şudur. Bir dik üçgenin bütün kenarlarını iki katına çıkar: açılar değişmez ve hiçbir oran da değişmez, çünkü katsayı sadeleşir:
(2*3)/(2*5) = 3/5
Yani bir açının sinüsü, herhangi bir üçgenin değil, o açının bir özelliğidir. Sinüs tablosunun var olabilmesinin sebebi budur; hesap makinesinin hiçbir şeyin boyutunu bilmeden cevap verebilmesinin de.
Şekildeki iki kaydırıcıyı oranlarını koruyarak oynat - 3 ile 4, sonra 6 ile 8 - ve üç okumanın da yerinde kaldığını gör.
Doğru oranı seçmek
Yöntem her zaman aynıdır, üç adım.
- Açını işaretle, sonra üç kenarı ona göre etiketle.
- Sorunun hangi iki kenardan söz ettiğine bak: birini biliyorsun, birini istiyorsun.
- O ikisinden kurulan oranı seç.
10 metrelik bir merdiven yere 65° açıyla dayanıyor; ne kadar yükseğe ulaşır? Merdiven hipotenüstür, yükseklik ise açının karşısındaki kenardır; karşı ve hipotenüs demek sinüs demektir: sin(65°) = h/10, dolayısıyla h = 10sin(65°).
Bu akıl yürütmenin hiçbir yerinde merdivenlere özel bir formül hatırlamak yoktu.
Bir tane dene
Bir dik üçgenin dik kenarları 6 ve 8, dolayısıyla hipotenüsü 10. Uzunluğu 6 olan kenarın karşısındaki açının sinüsü kaçtır?
6/8 dediysen hipotenüs bir dik kenarla karışmış demektir; "hipotenüs" sözcüğünün var olma sebebi tam da bu hatayı önlemektir.
Bundan sonrası
Buradan iki yön var. Bazı açılar hiç hesap makinesi olmadan tam oranlar verir - 30-60-90 ve 45-45-90 üçgenleri - ve bunları ezbere bilmeye değer. Ötesinde birim çember, aynı üç oranı alıp onları üçgenden tamamen kurtarır; böylece 90 dereceden sonra da anlam taşımaya devam ederler.
Sık sorulan sorular
- SOHCAHTOA ne demektir?
- Sinüs Karşı bölü Hipotenüs, Kosinüs Komşu bölü Hipotenüs, Tanjant Karşı bölü Komşu. Dik üçgendeki üç oran için bir hatırlatıcıdır ve ancak hangi kenarın karşı, hangisinin komşu sayıldığını bilirsen işe yarar; bu da hangi açıdan çalıştığına bağlıdır.
- Hangi kenar karşı, hangisi komşudur?
- Önce açını seç. Hipotenüs her zaman en uzun kenardır, dik açının karşısındadır ve hiç değişmez. Kalan iki kenardan açına değmeyen karşı, değen ise komşudur. Diğer dar açıya geçersen bu ikisi yer değiştirir.
- sin mi cos mu tan mı kullanacağımı nasıl bilirim?
- Üç kenarı açına göre etiketle, sonra sorunun hangi ikisini içerdiğine bak. Karşı ile hipotenüsten söz ediyorsa sinüs, komşu ile hipotenüsten söz ediyorsa kosinüs, ortada hipotenüs yokken iki dik kenardan söz ediyorsa tanjant. Oranı seçmek elindekine ve istediğine bağlıdır, şekle değil.
- Üçgen büyüyünce oran neden değişmez?
- Çünkü bir üçgeni ölçeklemek bütün kenarları aynı çarpanla çarpar, dolayısıyla iki kenarın oranı değişmez; çarpan payda ve payda sadeleşir. Açıları aynı olan iki dik üçgen benzerdir, bu yüzden 30 derecenin sinüsü madeni para büyüklüğünde bir üçgende de tarla büyüklüğünde bir üçgende de aynı sayıdır.
- SOHCAHTOA dik açısı olmayan üçgenlerde işe yarar mı?
- Hayır. Üç oran da dik üçgen üzerinden tanımlıdır, dolayısıyla dik açısı olmayan bir üçgen başka araçlar ister: sinüs teoremi veya kosinüs teoremi. Yaygın bir yol, bir yükseklik indirip üçgeni iki dik üçgene bölmektir; zaten iki teorem de böyle türetilir.
Şimdi kendin yap, gerçekten
Başkasının çözümünü okumak, o işi yapabilmekle aynı şey değil. Coddy matematik kursu seni her hamleni denetleyen bir tahtaya oturtuyor; böylece gerçekte nerede olduğunu görüyorsun.
