Korelasyon Katsayısı

İki ölçümü yan yana koy, uyku saatiyle tepki süresi ya da sıcaklıkla dondurma satışları gibi, ve birini ötekine karşı işaretle. Bazen noktalar soldan sağa yukarı kayar, bazen aşağı, bazen de biçimsiz bir bulut oluşturur. Korelasyon katsayısı r, bu izlenimi -1 ile 1 arasında tek bir sayıya çevirir.

Aşağıdaki noktaları sürükle. Kesikli iki çizgi x'in ortalamasını ve y'nin ortalamasını gösterir; her nokta onlara göre nerede durduğuna göre renklenir. Önce üç hazır örneği dene, sonra tek bir noktayı ötekilerden çok uzağa çek ve r'ye ne yaptığını izle.

Sayı ne söyler

r her zaman -1 ile 1 arasındadır ve iki ayrı bilgi taşır.

İşaret yöndür. Pozitif r, x büyüdükçe y'nin de büyüme eğiliminde olduğu anlamına gelir. Negatif r, x büyüdükçe y'nin küçülme eğiliminde olduğu anlamına gelir. Eğilimin ne kadar dik olduğu hakkında hiçbir şey söylemez: yavaşça yükselen bir doğrunun da hızla yükselen bir doğrunun da r'si 1 olabilir.

Büyüklük, noktaların bir doğruya ne kadar sıkı sarıldığıdır. Tam 1 ya da -1'de her nokta tek bir doğru üzerindedir. 0'da hiçbir doğrusal eğilim yoktur.

Yukarıdaki grafik r'yi çoğu ders kitabının kullandığı sınırlarla etiketler:

Bu sınırlar bir teorem değil, bir uzlaşımdır. Bir sonucu sözle anlatmak için işe yararlar ve her alan onları kaydırır: tam olarak orantılı olması gereken iki nicelik arasında r = 0.9 ölçen bir fizikçinin bir sorunu vardır; iki kişilik özelliği arasında r = 0.4 bulan bir psikoloğun ise bir sonucu.

Formül nereden gelir

Her nokta, kesikli iki ortalamanın oluşturduğu dört bölgeden birindedir. Merkezin sağ üstündeki bir noktanın x'i de y'si de ortalamasının üstündedir. Sol üstte x altta, y üsttedir. Formülün tamamı bu resim üzerine kurulur:

r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √(Σ(x - x̄)² Σ(y - ȳ)²)

Önce paya bak. Her nokta için x'in ortalamasından uzaklığını y'nin ortalamasından uzaklığıyla çarp. Sağ üst ve sol alt bölgelerde iki uzaklığın işareti aynıdır, bu yüzden çarpım pozitiftir. Öteki iki bölgede işaretler farklıdır ve çarpım negatiftir. Çarpımları toplamak, işareti r'nin işareti olan bir toplam verir; grafikteki renklerin yönü sayıdan önce söylemesinin nedeni budur: mavi noktalar r'yi yukarı iter, turuncu noktalar aşağı çeker.

Payda yalnızca ölçeği ayarlar. x'in yayılımına ve y'nin yayılımına böler; böylece sonuç artık birimlere bağlı olmaz ve iki yönde de 1'i geçemez.

Elle hesaplamak

Beş nokta al: x = 1, 2, 3, 4, 5 ve y = 2, 4, 5, 4, 5. x'in ortalaması 3, y'nin ortalaması 4'tür.

Yani r = 6/√60 = √15/5; bu yaklaşık 0.7746'dır: güçlü pozitif bir korelasyon.

Tam cevabın bir karekök olduğuna dikkat et. Burada r² tam olarak 3/5, sade bir kesir çıkıyor ve r, payın işareti eklenmiş hâliyle onun kareköküdür. Korelasyon katsayısı hesaplama aracının r'yi tek başına yuvarlanmış bir ondalık olarak değil, yanında ondalığıyla birlikte köklü ifade olarak basmasının nedeni budur.

Pek çok ders kitabı aynı formülü, önce ortalamaları çıkarmadan yalnızca toplamlarla çalışan bir biçimde verir:

r = (nΣxy - ΣxΣy) / √((nΣx² - (Σx)²)(nΣy² - (Σy)²))

Aynı beş nokta için n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55 ve Σy² = 86'dır. Pay 5 × 66 eksi 15 × 20 = 30, paydadaki iki parantez 50 ve 30'dur; yani r = 30 / √1500, yine aynı √15/5.

r ve r kare

r'nin karesini al, r² elde edersin: belirlilik katsayısı. Yukarıdaki beş nokta için r² = 0.6'dır. Bir pay olarak okunur: bu noktalardan geçen en uygun doğru, y'deki değişimin %60'ını açıklar; kalan %40, doğrunun açıklayamadığı dağılımdır.

İki sayı farklı sorulara cevap verir. r yönü ve gücü birlikte söyler; bir ilişkiyi anlatırken istediğin budur. r² işareti düşürür, bu yüzden r = -0.9 ile r = 0.9 ikisi de 0.81 verir; soru bir doğrunun ne kadarını açıkladığıysa söylenecek sayı budur. Ayrıca r 0 ya da ±1 olmadıkça her zaman |r|'den küçüktür; kulağa kabul edilebilir gelen 0.5'lik bir r, 0.25'lik bir r²'ye dönüşür: doğru, değişimin dörtte birini açıklar.

Korelasyon nedensellik değildir

Güçlü bir r, bu verilerde iki niceliğin birlikte hareket ettiğini söyler. Nedenini söylemez ve birinin ötekine neden olmasıyla hiç ilgisi olmayan üç yaygın açıklama vardır.

• Üçüncü bir nicelik ikisini birden yönlendirir. Dondurma satışları ile boğulma vakaları birlikte artıp azalır. İkisinin de nedeni sıcak havadır.
• Neden ters yönde işler. Rüzgârlı günlerde yel değirmenleri daha hızlı döner. Değirmenleri rüzgâr döndürür; değirmenler rüzgârı yaratmaz.
• Tesadüf. İlgisiz yeterince seriyi karşılaştırırsan bazıları şans eseri örtüşür, özellikle birkaç yıllık veride.

x'in y'ye neden olduğunu göstermek, korelasyonun veremeyeceği bir şey ister: kontrollü bir deney ya da öteki açıklamaları dışarıda bırakan, mekanizma üzerine bir akıl yürütme.

r'nin göremedikleri

Sayı bir özettir ve özet bazı şeyleri gizler. Üçünü bilmeye değer.

Eğriler. (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) noktaları tam olarak y = x^2 üzerindedir ve korelasyon katsayıları tam olarak 0'dır. Sol yarı alçalır, sağ yarı yükselir ve çarpımlar birbirini götürür. r yalnızca doğrusal ilişkileri ölçer, bu yüzden kusursuz bir eğri hiç puan alamayabilir.

Aykırı değerler. Yukarıdaki beş noktadan, r ≈ 0.7746'dan başla ve (10, 0)'a tek bir nokta ekle. Yeni r yaklaşık -0.5529'dur. Tek bir nokta işareti çevirdi. Ters yönde de işler: x = 1'den 5'e ve y = 3, 1, 4, 1, 5 için r ≈ 0.3536 zayıftır ve (12, 12)'ye tek bir nokta eklemek, öteki beşine hiç dokunmadan onu yaklaşık 0.9084'e çıkarır. İkisini de grafikte dene: bir noktayı bir köşeye sürükle ve r'yi izle.

Önemsiz olanlar. Birimleri değiştirmek r'yi etkilemez. x'i metre yerine santimetreyle ölç ya da her x'i 10 ile çarp; r yine √15/5'tir. Hangi değişkenin x, hangisinin y olduğunu değiştirmek de r'yi değiştirmez; oysa en uygun doğru, yerlerini değiştirdiğinde değişir.

O yüzden r'yi söylemeden önce serpilme diyagramına bak ve uydurulan doğrunun artıklarında sayının gizleyeceği bir örüntü olup olmadığını kontrol et.

Bir tane dene

İki niceliğin korelasyon katsayısı r = -0.9. r kare kaçtır?

r negatif olsa da cevap pozitiftir ve 0.9'dan küçüktür. -0.81 bulduysan işaret kareye taşınmıştır; 0.9 bulduysan kare alınmamıştır. Kendi verin için r'yi bulmak istersen iki sütunu korelasyon katsayısı hesaplama aracına yapıştır; toplamlar tablosunu ve doldurulmuş formülü gösterir.