Hệ số tương quan
Một con số từ -1 đến 1 cho biết một đám điểm bám sát một đường thẳng đến mức nào, và theo hướng nào. Kéo các điểm và xem con số thay đổi trước khi học công thức.
Cập nhật lần cuối
Đặt hai phép đo cạnh nhau, chẳng hạn số giờ ngủ và thời gian phản xạ, hay nhiệt độ và doanh số kem, rồi vẽ đại lượng này theo đại lượng kia. Có lúc các điểm đi lên từ trái sang phải, có lúc đi xuống, có lúc chỉ là một đám mây không hình dạng. Hệ số tương quan r biến ấn tượng đó thành một con số từ -1 đến 1.
Hãy kéo các điểm bên dưới. Hai đường nét đứt đánh dấu trung bình của x và trung bình của y, và mỗi điểm được tô màu theo vị trí của nó so với hai đường đó. Thử ba mẫu có sẵn trước, rồi kéo một điểm ra thật xa các điểm còn lại và xem nó làm gì với r.
Kéo các điểm. Điểm xanh dương kéo r lên, điểm cam kéo r xuống: mỗi điểm được tô màu theo phía của hai đường trung bình nét đứt mà nó nằm.
Con số nói lên điều gì
r luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1, và mang hai thông tin tách biệt.
Dấu là hướng. r dương nghĩa là khi x lớn hơn thì y cũng có xu hướng lớn hơn. r âm nghĩa là khi x lớn hơn thì y có xu hướng nhỏ hơn. Dấu không nói gì về độ dốc của xu hướng: một đường đi lên thoai thoải và một đường đi lên dốc đứng đều có thể có r = 1.
Độ lớn là mức độ các điểm bám sát một đường thẳng. Đúng bằng 1 hoặc -1 thì mọi điểm nằm trên một đường. Bằng 0 thì hoàn toàn không có xu hướng đường thẳng nào.
Biểu đồ ở trên gắn nhãn cho r theo các ngưỡng mà hầu hết sách giáo khoa dùng:
| độ lớn của r | nhãn | biểu đồ phân tán trông thế nào |
|---|---|---|
| đúng bằng 1 | hoàn hảo | mọi điểm nằm trên một đường |
| từ 0,7 trở lên | mạnh | một dải hẹp, rõ ràng |
| từ 0,4 đến dưới 0,7 | trung bình | xu hướng thấy được nhưng các điểm khá tản mát |
| từ 0,1 đến dưới 0,4 | yếu | độ nghiêng mà bạn sẽ bỏ qua nếu không có con số |
| dưới 0,1 | không có | không có xu hướng đường thẳng |
Các ranh giới này là quy ước, không phải định lý. Chúng có ích khi mô tả kết quả bằng lời, và mỗi lĩnh vực lại dịch chúng đi một chút: một nhà vật lý đo được r = 0,9 giữa hai đại lượng lẽ ra phải tỉ lệ chính xác với nhau là đang gặp vấn đề, còn một nhà tâm lý học tìm ra r = 0,4 giữa hai đặc điểm tính cách thì đã có một kết quả.
Công thức đến từ đâu
Mỗi điểm nằm trong một trong bốn vùng tạo bởi hai đường trung bình nét đứt. Một điểm ở phía trên bên phải tâm có x lớn hơn trung bình của x và y lớn hơn trung bình của y. Ở phía trên bên trái, x nhỏ hơn còn y lớn hơn. Toàn bộ công thức được xây dựng trên hình ảnh đó:
r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √(Σ(x - x̄)² Σ(y - ȳ)²)
Hãy xem tử số trước. Với mỗi điểm, nhân khoảng cách từ x đến trung bình của nó với khoảng cách từ y đến trung bình của nó. Ở vùng trên bên phải và dưới bên trái, hai khoảng cách cùng dấu nên tích dương. Ở hai vùng còn lại, dấu khác nhau nên tích âm. Cộng các tích lại được một tổng có dấu chính là dấu của r, đó là lý do màu sắc trong biểu đồ cho bạn biết hướng trước cả con số: các điểm xanh đẩy r lên, các điểm cam kéo r xuống.
Mẫu số chỉ có nhiệm vụ đổi thang đo. Nó chia cho độ phân tán của x và độ phân tán của y, nên kết quả không còn phụ thuộc vào đơn vị và không thể vượt quá 1 theo chiều nào.
Tự tính bằng tay
Lấy năm điểm: x = 1, 2, 3, 4, 5 và y = 2, 4, 5, 4, 5. Trung bình của x là 3 và trung bình của y là 4.
| x | y | x - 3 | y - 4 | tích | (x - 3)² | (y - 4)² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | -2 | -2 | 4 | 4 | 4 |
| 2 | 4 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 4 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 5 | 2 | 1 | 2 | 4 | 1 |
| tổng | 6 | 10 | 6 |
Vậy r = 6/√60 = √15/5, khoảng 0,7746: một tương quan thuận mạnh.
Để ý rằng đáp án chính xác là một căn bậc hai. Ở đây r² bằng đúng 3/5, một phân số bình thường, và r là căn bậc hai của nó kèm theo dấu của tử số. Đó là lý do máy tính hệ số tương quan in r dưới dạng căn thức, kèm giá trị thập phân bên cạnh, thay vì chỉ một số thập phân đã làm tròn.
Nhiều sách giáo khoa đưa cùng công thức này ở dạng chỉ cần các tổng cộng dồn, không phải trừ trung bình trước:
r = (nΣxy - ΣxΣy) / √((nΣx² - (Σx)²)(nΣy² - (Σy)²))
Với cùng năm điểm đó, n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55 và Σy² = 86. Tử số là 5 × 66 trừ 15 × 20 = 30, hai thừa số dưới mẫu là 50 và 30, nên r = 30 / √1500, vẫn là √15/5.
r và r bình phương
Bình phương r, bạn được r², gọi là hệ số xác định. Với năm điểm ở trên, r² = 0,6. Nó được đọc như một tỉ lệ: đường hồi quy đi qua các điểm này giải thích được 60% mức biến thiên của y, còn 40% kia là độ tản mát mà đường thẳng không giải thích được.
Hai con số trả lời hai câu hỏi khác nhau. r cho biết cả hướng lẫn độ mạnh, đó là thứ bạn cần khi mô tả một mối quan hệ. r² bỏ đi dấu, nên r = -0,9 và r = 0,9 đều cho 0,81, và đó là con số nên đưa ra khi câu hỏi là đường thẳng giải thích được bao nhiêu. Nó cũng luôn nhỏ hơn |r|, trừ khi r bằng 0 hoặc ±1, nên một r bằng 0,5 nghe có vẻ ổn sẽ thành r² bằng 0,25: đường thẳng chỉ giải thích được một phần tư mức biến thiên.
Tương quan không phải nhân quả
Một r mạnh cho biết hai đại lượng biến đổi cùng nhau trong dữ liệu này. Nó không cho biết vì sao, và có ba lý do thường gặp chẳng liên quan gì đến việc cái này gây ra cái kia.
- Một đại lượng thứ ba tác động lên cả hai. Doanh số kem và số vụ tai nạn khi bơi cùng tăng cùng giảm. Trời nóng gây ra cả hai.
- Nguyên nhân đi theo chiều ngược lại. Cối xay gió quay nhanh hơn vào những ngày gió mạnh. Gió làm cối xay quay; cối xay không tạo ra gió.
- Trùng hợp. So sánh đủ nhiều chuỗi số liệu không liên quan, sẽ có vài chuỗi khớp nhau một cách ngẫu nhiên, nhất là khi chỉ xét vài năm.
Muốn chứng minh x gây ra y cần thứ mà tương quan không cung cấp được: một thí nghiệm có đối chứng, hoặc một lập luận về cơ chế loại bỏ được các khả năng khác.
Những gì r không nhìn thấy
Con số này là một bản tóm tắt, và bản tóm tắt nào cũng che giấu vài thứ. Có ba điều đáng biết.
Đường cong. Các điểm (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) nằm đúng trên y = x^2, nhưng hệ số tương quan của chúng đúng bằng 0. Nửa bên trái đi xuống, nửa bên phải đi lên, và các tích triệt tiêu nhau. r chỉ đo quan hệ đường thẳng, nên một đường cong hoàn hảo vẫn có thể được 0 điểm.
Điểm ngoại lai. Bắt đầu từ năm điểm ở trên, r ≈ 0,7746, rồi thêm một điểm duy nhất tại (10, 0). r mới khoảng -0,5529. Chỉ một điểm đã lật ngược dấu. Chiều ngược lại cũng vậy: x = 1 đến 5 với y = 3, 1, 4, 1, 5 có r yếu ≈ 0,3536, và thêm một điểm tại (12, 12) sẽ nâng nó lên khoảng 0,9084 mà không hề thay đổi năm điểm kia. Hãy thử cả hai trên biểu đồ: kéo một điểm ra góc và xem r.
Những gì không ảnh hưởng. Đổi đơn vị không làm r thay đổi. Đo x bằng xentimét thay vì mét, hay nhân mọi x với 10, r vẫn là √15/5. Đổi vai trò của x và y cũng không làm r thay đổi, khác với đường hồi quy, vốn thay đổi khi bạn đổi chỗ hai biến.
Vì vậy hãy xem biểu đồ phân tán trước khi đưa ra r, và kiểm tra phần dư của đường thẳng đã khớp để tìm quy luật mà con số có thể che giấu.
Thử một bài
Đáp án là số dương dù r âm, và nhỏ hơn 0,9. Nếu bạn ra -0,81 thì dấu đã bị mang vào phép bình phương; nếu ra 0,9 thì bạn đã bỏ qua bước bình phương. Để tìm r cho dữ liệu của riêng bạn, hãy dán hai cột vào máy tính hệ số tương quan, công cụ này hiển thị bảng các tổng và công thức đã điền sẵn số.
Câu hỏi thường gặp
Hệ số tương quan là gì?
Hệ số tương quan r, còn gọi là r Pearson, là một số từ -1 đến 1 đo mức độ hai đại lượng đi theo một quan hệ đường thẳng. Dấu của nó cho biết hướng: dương khi y có xu hướng tăng cùng x, âm khi y có xu hướng giảm. Độ lớn của nó cho biết độ mạnh: gần 1 hoặc -1 thì các điểm nằm sát một đường thẳng, gần 0 thì hoàn toàn không có quy luật tuyến tính.
Cách tính hệ số tương quan như thế nào?
Lấy mỗi x trừ đi trung bình của x, mỗi y trừ đi trung bình của y. Nhân từng cặp hiệu với nhau rồi cộng các tích lại. Chia tổng đó cho căn bậc hai của (tổng bình phương các hiệu của x) nhân (tổng bình phương các hiệu của y). Với x = 1, 2, 3, 4, 5 và y = 2, 4, 5, 4, 5, tổng các tích là 6, tổng các bình phương là 10 và 6, nên r = 6 / √60 = √15/5, khoảng 0,7746.
Hệ số tương quan bao nhiêu thì được coi là mạnh?
Một quy ước phổ biến, cũng là quy ước mà biểu đồ trên trang này dùng, coi |r| từ 0,7 trở lên là mạnh, từ 0,4 đến dưới 0,7 là trung bình, từ 0,1 đến dưới 0,4 là yếu, và dưới 0,1 là không có tương quan tuyến tính. Các ngưỡng này là thói quen chứ không phải định luật. Trong vật lý, r bằng 0,9 có thể là kết quả đáng thất vọng; trong tâm lý học hay kinh tế học, 0,4 đã có thể là một phát hiện đáng chú ý.
r và r bình phương khác nhau thế nào?
r giữ lại hướng, còn r² thì không. r² là phần biến thiên của y mà đường thẳng giải thích được, nên r = 0,7746 nghĩa là r² = 0,6, và đường thẳng giải thích được 60% mức biến thiên của y. r bằng -0,9 và r bằng 0,9 đều cho r² = 0,81: chặt như nhau, ngược hướng nhau.
Hệ số tương quan có thể lớn hơn 1 không?
Không. r luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1, và chỉ chạm một trong hai đầu khi mọi điểm nằm đúng trên một đường thẳng. Nếu bạn tính ra r bằng 1,2 thì có một tổng trong bảng bị sai; thủ phạm thường gặp là bình phương tổng của x thay vì cộng các bình phương của x.
Tương quan có nghĩa là nhân quả không?
Không. Một r mạnh cho biết hai đại lượng biến đổi cùng nhau trong dữ liệu bạn đang có. Nó không cho biết đại lượng nào tác động lên đại lượng nào, hay có một đại lượng thứ ba tác động lên cả hai hay không. Doanh số kem và số vụ tai nạn khi bơi cùng tăng vì trời nóng làm cả hai tăng; không cái nào gây ra cái nào. Muốn chứng minh nguyên nhân cần một thí nghiệm hoặc một lập luận cẩn thận về cơ chế, không phải một hệ số tương quan.
Vì sao r = 0 không có nghĩa là không có quan hệ?
r chỉ đo quan hệ đường thẳng. Các điểm (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) nằm đúng trên y = x², một quan hệ hoàn hảo, nhưng hệ số tương quan của chúng đúng bằng 0, vì nửa bên trái đi xuống triệt tiêu nửa bên phải đi lên. Luôn xem biểu đồ phân tán trước khi tin vào con số.
Muốn thử với số liệu của riêng bạn?
Tính hệ số tương quan Mở máy tính