平均数、中位数、众数计算器

“中间在哪里？”的三种不同答案

平均数把所有值加起来再平均分。中位数不管大小，只取排好序后正中间的那个值。众数完全不管位置，只取出现次数最多的值。它们是三个真正不同的问题，在一组分布不均的数据上会给出三个真正不同的答案，而这恰恰是了解它们区别最重要的时候。

这就是为什么一条全是公寓的街上出现一栋别墅的房价，会拉动平均数，却不影响中位数：平均数能感受到每个值的大小，而中位数只看位置。每当有人用一个数字来描述收入、价格或等待时间时，问一问给你的是哪一种“平均”，这个选择可是实实在在地起作用。

这个页面会给出这三个值，外加极差、四分位数和四分位距，并展示每一个是怎样从排序后的列表中求出来的。平均数保持精确：1、2 和 4 的平均数在这里是 7/3，而不是 2.33，因为 2.33 是另一个数，要不要四舍五入，应该由读者自己决定。

值得注意的地方

• 先排序。中位数、四分位数和极差都是直接从顺序里读出来的，排序之前，它们都不可信。
• 数据个数为偶数时，没有唯一的中间值，所以中位数是中间两个值的平均数，它甚至可能不是列表里的某个值。
• 一组数据可以有多个众数，也可以没有。两个值并列出现次数最多，就有两个众数；所有值都只出现一次，就没有众数，这是一个答案，而不是算失败了。
• 三者之中，只有平均数会被每一个值牵动。一个极端值就能把它拉走，而中位数纹丝不动。
• 极差只用到两个数，最大值和最小值，所以它完全不能告诉你两者之间发生了什么。
• 四分位距是中间一半数据的极差。它有意忽略两端，这正是它衡量离散程度更稳健的原因。

如何手算这三个值

1. 1

   按顺序写出数据

   从小到大排列。只需要一分钟，却能让其中三个答案一眼就看出来。

2. 2

   平均数：先加再除

   把所有值加起来，再除以个数。如果除不尽，就保留为分数：7/3 是精确的，2.33 不是。

3. 3

   中位数：找到中间的位置

   个数为奇数时，就是正中间那一个值。个数为偶数时，取中间两个值求平均数。

4. 4

   众数：数重复次数

   出现次数最多的那个值。在排好序的列表里一边看一边计数；并列是真实存在的，两个都算。

5. 5

   极差和四分位数

   最大值减去最小值就是极差。在中位数处把排好序的列表分成两半（个数为奇数时不包括中位数本身），再分别取两半的中位数：它们就是 Q1 和 Q3，Q3 − Q1 就是四分位距。

同一组数据上的三种平均值

注意它们不一致的那几行：在偏态数据上，选择哪种平均值，正好会改变整个结论。

例题详解

2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

1, 2, 3, 4

1, 1, 2, 2, 3

10, 10, 10, 100

1, 2, 4

常见错误

• 在没排序的列表上找中位数。顺序的中间不等于你输入时的中间；永远先排序。
• 数据个数为偶数时直接取中间位置。8 个值没有第 4.5 个值，应该取第 4 个和第 5 个值的平均数。
• 把“没有众数”说成众数是零。如果每个值都只出现一次，这组数据就没有众数，这就是该写的答案。
• 两个值并列时只报一个众数。两个值同为最高次数，就有两个众数；一组数据可以是双众数或多众数的。
• 先把平均数四舍五入再使用。7/3 变成 2.33，之后的每一步计算都会继承这个误差，要保留分数。
• 以为“平均”就是指平均数。在新闻和报告里，它常常指中位数，而两者差别最大的，恰恰是这些报告讨论的偏态数据。

平均数、中位数和众数常见问题