单样本，与声称的均值 24 比较
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20, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 29 与 μ₀ = 24 比较这十个数的均值是 26，样本方差是 32/3。标准误是 32/30 的平方根，约 1.033，所以 t 约为 1.94，自由度为 9，双尾 p 约为 0.085。在 5% 水平下不显著：从均值为 24 的总体中抽取十个数，大约每十二次就有一次会得到均值 26 这样的结果。
T 检验计算器
对原始数据做单样本、双样本和配对 t 检验，逐行计算。
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t 检验要回答的是：差异是否大于噪声
所有 t 检验的结构都一样。先有一个你关心的差值：样本均值与某个声称值之差、两组均值之差，或者配对数据的平均变化量。再有一个标准误：这个差值从一次抽样到下一次抽样会波动多少，由数据的离散程度估计出来。t 统计量就是前者除以后者，所以 t = 3 表示差值有三个标准误那么大；再用对应自由度的 t 分布曲线，把它换算成 p 值。
三种检验的区别只在于差值和标准误分别是什么。单样本：均值减去假设值，除以 s 除以根号 n。配对：对差值列表（每对一个差值）做同样的事；当每一对数据共享大量噪声时，配对检验特别有力，原因就在这里。双样本：两组均值之差，除以由两组离散程度共同构成的标准误。对于双样本，页面默认使用 Welch 版本，它不假设两组方差相等，也是所有现代统计软件的默认选择；如果课程要求，切换一下就能用合并方差的 Student 版本。
页面会尽可能保留精确值。均值 26 就显示为 26，方差 32/3 就显示为 32/3，而不是 10.67；标准误是平方根，所以显示为根式；t 统计量是第一个以小数显示的值，因为除以一个根式之后，已经没有可以保留的有理数了。下方列出了每一步，你可以拿样本汇总表和自己的计算过程逐项核对。
关于 t 检验你需要知道的
- 单样本和配对数据的自由度是 n 减 1；合并方差的双样本检验是 n1 加 n2 减 2。Welch 检验的自由度由两组方差算出，是一个分数，常常不是整数。
- 配对能消除共有的噪声。对同一批人的前测和后测，应该用配对检验，绝不能用双样本检验；双样本检验丢掉了配对信息，通常什么也检验不出来。
- Welch 是稳妥的默认选择。两组方差确实相等时，两个版本的结果一致；不相等时，只有 Welch 能保持承诺的错误率。
- 置信区间能告诉你 p 值说不出的东西：差异大概有多大。t 显著但区间是 0.1 到 0.3，说明效应很小；同样的 t，区间是 2 到 6，说明效应很大。
- Cohen's d 是以标准差为单位的差值，因此可以在量纲不同的研究之间比较。约 0.2 算小，0.5 算中等，0.8 算大。
如何做 t 检验
选择检验类型
单样本：与某个声称的均值比较；双样本：比较两组独立样本；配对：一组中的每个值在另一组中都有对应的值。
粘贴数据
用逗号、空格或换行分隔都可以。配对检验的两组数据必须个数相同、顺序一致。
设置假设和显著性水平
检验“是否不同”用双尾，事先确定了方向就用单尾。显著性水平 alpha 通常取 0.05。
先看样本汇总表
检查均值和方差是否符合预期。大多数出错的 t 检验，都是因为某个数值输进了错误的那一组。
再看 t、p 和置信区间
结论告诉你差异是否越过了门槛；区间告诉你差异大概有多大。两者都要报告。
三种 t 检验
每种检验分别用什么除以什么。
| 检验 | 差值 | 标准误 | 自由度 |
|---|---|---|---|
| 单样本 | x̄ − μ₀ | s / √n | n − 1 |
| 配对 | 差值的均值 d̄ | s_d / √n | n − 1 |
| 双样本，合并方差 | x̄₁ − x̄₂ | √(s²_p (1/n₁ + 1/n₂)) | n₁ + n₂ − 2 |
| 双样本，Welch | x̄₁ − x̄₂ | √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) | 由两组方差算出，常常不是整数 |
例题详解
两组独立样本
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84, 79, 91, 88, 76, 85, 90 与 78, 81, 74, 80, 77, 83, 79 比较第一组均值约为 84.7，第二组约为 78.9。Welch 检验得到 t 约为 2.46，自由度约为 9，p 约为 0.036；合并方差版本得到同样的 t，自由度为 12，p 约为 0.030。两种方法都显著，差值的置信区间大约从 0.5 到 11.2。
配对的前测与后测
plain
前测 72, 68, 75, 80, 66, 71；后测 75, 70, 79, 84, 69, 74每一对都上升了 2 到 4 分。差值的均值是 19/6，约 3.17，离散程度很小，所以配对 t 很大，约为 10.3，自由度为 5，p 约为 0.0001。如果对同样的数据做双样本检验，结果会弱得多，因为人与人之间的差异淹没了每个人自身的变化。
t 检验的常见错误
- 对配对数据做双样本检验。配对本身就是信息；把它丢掉，真实的变化就会淹没在噪声里。
- 不检查就假设方差相等。只有两组离散程度一致时，合并方差检验才正确；方差相等时用 Welch 几乎没有损失，不相等时 Welch 能救回这次检验。
- 用总体方差公式计算方差。t 检验用的是样本方差，除以 n 减 1，这个页面也是这样算的。
- 把显著当成差异大。数据足够多时，再小的差异也会显著；要看置信区间和 Cohen's d 才知道它是否重要。
- 看到正负号之后才决定用单尾还是双尾。如果问题是“是否不同”，即使结果对你有利，也应该用双尾检验。
- 用很少几个数值去检验严重偏斜的指标。n 小于 15 左右且有长尾时，t 分布只是粗略的参考；秩检验或 bootstrap 才是诚实的替代方法。
t 检验常见问题
什么时候用 t 检验，而不是 z 检验？
只要标准差是从同一个样本估计出来的，就用 t 检验，而这几乎总是如此。t 分布更厚的尾部考虑了这部分额外的不确定性。z 检验适用于教科书里那种事先已知总体标准差的情况，或者样本非常大、两条曲线几乎重合的情况。
配对 t 检验和非配对 t 检验有什么区别？
配对检验使用配对数据内部的差值，比如同一个人测量两次，这样每一对共有的噪声就互相抵消了。非配对（双样本）检验比较的是两个独立的组。只要一组中的每个值在另一组中都有天然对应的值，就用配对检验；否则用双样本检验。
应该用 Welch t 检验还是 Student t 检验？
用 Welch，除非课程或期刊另有规定。Student 的合并方差检验假设两组方差相等，不相等时错误率就会失准；Welch 去掉了这个假设，在假设成立时结果与 Student 一致。这个页面默认使用 Welch，合并方差版本可以通过开关切换。
Welch 检验的自由度怎么理解？
Welch 检验的自由度由两组样本的方差和样本量通过公式算出，通常不是整数，比如 9.87。这很正常，t 分布对任何正数自由度都有定义。当两组方差和样本量都相等时，它会化简为 n1 加 n2 减 2。
差值的置信区间是什么意思？
在所选置信水平下，与数据相符的真实差值的取值范围。如果区间不包含零，那么在对应的 alpha 下检验是显著的；区间的宽度说明差值被估计得有多精确。请把它和 p 值一起报告。
Cohen's d 是什么？
两组均值之差除以标准差，也就是以标准差为单位的效应量，可以在量纲不同的研究之间比较。按惯例，0.2 算小，0.5 算中等，0.8 算大；不过多大才算有意义，取决于具体领域。
能用它做 A/B 测试吗？
如果是转化率，不行：那是比例的比较，工具页面上的 A/B 测试计算器会用两比例 z 检验来做。如果是人均收入、页面停留时间这类连续指标，可以，只要你有每个用户的数值可以粘贴进来；这时双样本 Welch 检验是正确的选择。
