教科书上的经典数据：2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
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2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9八个值的总和是 40，所以平均数是 5。离差是 −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4（总和为零，理应如此），它们的平方和是 32。除以 n = 8，方差是 4，开平方正好是 2。如果作为样本，就是 32/7，约为 2.138。
标准差计算器
逐行列出离差表，这正是考试真正要考的部分。
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标准差是到平均数的平均距离
拿一组数和它的平均数来看。每个值都离平均数有一段距离，标准差大致就是这些距离的典型大小。它不能直接取这些距离的平均值，因为平均数上方和下方的距离总是正好抵消为零。所以要先把每个距离平方，再求平方的平均值，最后开平方抵消平方，让答案回到原来的单位。
整个公式就是这样，而考试真正给分的是中间部分：每个值减去平均数的表格，以及每个差的平方。本页完整列出这张表，以及两种方差都要用来相除的总和。其他计算器只给出 σ 就结束了，而那恰恰是学生用手机就能算出来的部分。
除数有两种，区别很重要。如果你的数据就是整个群体，也就是总体，就把总和除以 n。如果它们是代表更大群体的样本，就除以 n − 1，因为样本自己的平均数离它自己的值稍微近了一点，少除一个正好可以补偿。这里始终同时给出两种结果，所以用哪个除数由你决定，而不是由页面替你决定。
需要注意的地方
- 离差的总和永远是零。这不是巧合，平均数的定义就是如此，这也是求平均之前需要先平方的原因。
- 方差是开平方之前的答案，单位是平方：千克变成平方千克，所以要开平方回到千克。
- 总体的除数是 n，样本的除数是 n − 1。样本的结果总是两者中较大的那个，数据越多，差距越小。
- 标准差永远不会是负数，只有当所有值都相同时才为零：这时没有任何离散程度可以衡量。
- 和方差不同，标准差的单位与数据相同。这就是实际中通常报告标准差的原因。
- 一个异常值就能让它变化很大，因为距离先平方再计入。想发现异常值时，这种敏感是优点；不想时，它就是麻烦。
如何手算标准差
求平均数
把所有值相加，再除以个数。保持精确：如果平均数是 7/3，不要写成 2.33，因为这个误差接下来就要被平方。
每个值都减去平均数
得到的就是离差。有些是负数，这没关系；可以用来检验：它们加起来应该正好是零。
把每个离差平方
平方去掉了正负号，也让大的距离权重更大。把这些平方加起来：这个总和就是离差平方和。
除以 n 或 n − 1
如果这些值就是你关心的整个群体，就除以 n；如果它们是从更大群体中抽取的样本，就除以 n − 1。结果就是方差。
开平方
这就是标准差。它和原始数据的单位相同，而方差不是。
同一组数据的总体与样本对比
同样的数据，用两种除数分别计算。注意数据越多，两个答案之间的差距越小。
| 数据 | 平均数 | 离差平方和 | σ（总体） | s（样本） |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 32 | 2 | 2.138 |
| 1, 2, 3, 4 | 2.5 | 5 | 1.118 | 1.291 |
| 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 | 18 | 210 | 5.123 | 5.477 |
| 3, 3, 3 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 1, 2, 4 | 7/3 | 14/3 | 1.106 | 1.528 |
| 5, 15 | 10 | 50 | 5 | 7.071 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 6 | 40 | 2.828 | 3.162 |
| 100, 100, 100, 200 | 125 | 7500 | 43.301 | 50 |
例题详解
为什么样本的结果更大：1, 2, 3, 4
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1, 2, 3, 4平均数是 2.5，离差平方和是 5。除以 4，方差是 5/4，标准差是 √5/2 ≈ 1.118；除以 3，方差是 5/3，标准差约为 1.291。样本的结果总是更大，因为样本自己的平均数离它自己的值稍微近了一点。
不是小数的精确答案：1, 2, 4
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1, 2, 4平均数是 7/3，不是 2.33。离差是 −4/3、−1/3 和 5/3，平方分别是 16/9、1/9 和 25/9，总和为 14/3。如果先把平均数取近似值，在开始平方之前就已经丢掉了一位数字，所以这里表格的每一行都是分数。
完全没有离散：3, 3, 3
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3, 3, 3每个离差都是零，所以离差平方和是零，标准差也是零。这是标准差为零的唯一情况：不是“数很小”，而是“每个值都相同”。
异常值的影响：100, 100, 100, 200
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100, 100, 100, 200三个值完全相同，一个不同，标准差约为 43，超过了整个极差的四分之一。正是对距离的平方让这一个远离的值有了这么大的权重，这也正是这个指标善于发现异常值的原因。
常见错误
- 不平方就对离差求平均。任何一组数的离差加起来都是零，所以答案永远是零。
- 相减之前先把平均数取近似值。如果平均数是 7/3，用 2.33 去算会让后面的每个平方都出错，要一直保持精确到最后。
- 除错了个数。n 用于整个总体，n − 1 用于样本；对样本数据用 n，每次都会低估离散程度。
- 把方差当成标准差报告。方差是开平方之前的一步，单位是平方：两者不是彼此的近似版本。
- 完全忘了开平方。如果你的答案相对数据来说大得离谱，通常就是这个原因。
- 把负的离差当成错误。大约一半的离差本来就应该是负数；如果一个负数都没有，说明平均数算错了。
标准差常见问题
总体标准差和样本标准差有什么区别？
区别在除数。总体标准差把离差平方和除以 n，因为这些值就是整个群体。样本标准差除以 n − 1，因为样本的平均数离它自己的值稍微近了一点，少除一个正好可以补偿。样本的结果总是两者中较大的那个。
我应该用哪一个？
如果你的数据就是你关心的全部，比如全班的成绩、六个孩子的身高，就用总体公式。如果它们是用来代表更大群体的样本，就用 n − 1。大多数统计课作业要求样本版本，大多数考试题会说明要哪一种。
标准差怎么手算？
求平均数，用每个值减去它，把每个差平方，把平方相加，除以 n（或 n − 1），再开平方。本页会完整列出这张表，你可以逐行对照自己的计算过程，而不只是对最后的结果。
为什么要把离差平方？
因为不平方的话，它们加起来总是正好为零：根据平均数的定义，正负距离会互相抵消。平方去掉了正负号，也让大的距离权重更大，所以一个远离的异常值会让标准差变化很大。
方差和标准差有什么区别？
方差是离差平方的平均值，标准差是它的平方根。方差的单位是平方，比如平方千克、平方厘米，很难解读，所以要开平方，让答案回到数据的单位。
标准差可以是负数或零吗？
永远不会是负数：它是平方的平均值的平方根。只有当所有值都相同时才为零，因为这是唯一没有任何到平均数的距离可以衡量的情况。如果你算出了负数，说明表格里某处丢了负号。
标准差到底能告诉我什么？
大致说明一个典型的值离平均数有多远。对于呈钟形分布的数据，大约三分之二的值落在平均数上下一个标准差之内，约 95% 落在两个标准差之内，所以它是判断“这个值是否异常”的标准尺度。
为什么本页显示的是分数而不是小数？
因为分数才是精确答案。1、2 和 4 的平均数是 7/3，用 2.33 算出的每个平方都会有一点偏差。小数附在精确值旁边，而不是代替它；只要平方根是无理数，小数就会标为近似值。
