指数回归计算器

指数回归拟合的是按倍数而非按加法增长的数据

直线在 x 每增加一步时加上同样的量。而很多事物是乘以同样的倍数：复利计息的钱、细菌培养物、电池剩余的电量、一杯正在变凉的饮料与室温之间的温差。这种规律就是 y = a·bˣ，其中 a 是 x = 0 时的值，b 是每一步乘上的倍数。b 大于 1 时数量增长，b 在 0 和 1 之间时数量衰减，(b 减 1) 换成百分数就是每一步的变化率。

标准的拟合方法是对每个 y 取自然对数。如果 y = a·bˣ，那么 ln y = ln a + x·ln b，这是关于 x 的一条直线。所以这种方法先对点 (x, ln y) 做普通最小二乘直线拟合，从斜率读出 ln b，从截距读出 ln a，再还原对数。TI-84 的 ExpReg 命令和 Excel 的指数趋势线都是这样做的，而本页会展示每个阶段：ln y 这一列、拟合出的直线，以及还原 a 和 b 的两次指数运算。

由于对数是无理数，这是这一组回归计算器中唯一一个答案为四舍五入小数、而不是精确分数的计算器，结果旁边也会注明这一点。它还要求每个 y 都大于 0，因为 0 和负数的对数不存在。显示的 r² 是对 ln y 做直线拟合的 r²，也就是图形计算器报告的那个数。

关于这条曲线需要注意的地方

• b 是每一步的倍数，(b 减 1) 是变化率。b ≈ 0.8195 表示每一步保留上一个值的约 81.95%，即每步衰减约 18.05%。
• a 是 x = 0 时的拟合值，不一定是第一个数据点。对于 x = 0 到 5 时 y = 100, 82, 67, 55, 45, 37，拟合得到 a ≈ 99.9517。
• 同一条曲线可以写成 y = a·eᵏˣ，其中 k = ln b。k 为正表示增长，k 为负表示衰减，ln 2 / |k| 就是倍增时间或半衰期。
• 最小二乘拟合的对象是 ln y，而不是 y。不管 y 是 5 还是 5000，偏差 10% 的权重都一样，这正适合按百分比增长的数据。
• 对数尺度上的 r² 很高，并不能证明增长是指数型的。直线数据 5, 4, 3, 2, 1 做指数拟合，r² 仍约为 0.9473。

怎样手算指数回归

1. 1

   对每个 y 取对数

   把每个 y 换成 ln y。对于 x = 0, 1, 2, 3, 4 和 y = 3, 6, 12, 24, 48，新的一列约为 1.0986、1.7918、2.4849、3.1781 和 3.8712。

2. 2

   对 (x, ln y) 拟合一条直线

   对点 (x, ln y) 用普通最小二乘公式求斜率和截距。这里斜率约为 0.6931，截距约为 1.0986。

3. 3

   还原对数

   斜率是 ln b，截距是 ln a，所以 b = e 的斜率次方，a = e 的截距次方。这里 b ≈ e^0.6931 = 2，a ≈ e^1.0986 = 3。

4. 4

   写出曲线并读出变化率

   y ≈ 3·2ˣ，或以 e 为底写成 y ≈ 3e^(0.6931x)。b = 2 表示每一步 y 乘以 2：每步增长 100%，倍增时间正好是一步。

小数据集的指数拟合

每一行都是在上面的计算器中输入的一组数据。所有值都四舍五入到小数点后四位。

例题详解

x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 3, 6, 12, 24, 48

x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 100, 82, 67, 55, 45, 37

x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36

x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625

x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 5, 4, 3, 2, 1

常见错误

• 数据中包含小于或等于 0 的 y。这时对数没有定义，方法无法进行。如果数据真的会降到 0，它就不是指数型的。
• 把 b 当成百分比。b = 1.05 表示每步增长 5%，b = 0.82 表示每步衰减 18%，而不是 82%。
• 把 a 和第一个 y 值弄混。a 是 x = 0 时的拟合值；只有当拟合完全精确、且数据从 x = 0 开始时，它才等于第一个数据点。
• 一步用以 10 为底的对数，另一步用 e。用什么底都可以，只要取对数和还原时用的是同一个底。
• 把对数尺度上的 r² 当作指数增长的证据。直线数据的得分也可能超过 0.9；要把曲线和数据点画在一起看。
• 外推得太远。指数增长迟早会遇到上限，而拟合出的曲线无从知道那是什么时候。

指数回归常见问题