Le carbone 14 après trois demi-vies
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N₀ = 100, t = 17 190 ans, t½ = 5730 anst/t½ = 17 190 / 5730 = 3. N = 100 · (½)³ = 100 / 8 = 12,5. Partez de 100 g et il reste 12,5 g ; partez de 100 % et il reste 12,5 %.
Calcul de demi-vie
La quantité restante après une décroissance radioactive, la durée écoulée ou la demi-vie.
Dernière mise à jour
Envie de résoudre ça sans calculatrice ?
Le cours de physique de Coddy enseigne la méthode : vous résolvez chaque problème étape par étape sur un tableau interactif, et il vous dit quelle étape a dérapé.
La formule de la demi-vie, et ce qu'elle dit
Un échantillon radioactif se désintègre à un rythme fixé par sa demi-vie, t½ (on dit aussi période radioactive) : la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux se sont désintégrés. Quelle que soit la quantité de départ, il en reste la moitié après une demi-vie, un quart après deux, un huitième après trois. La formule est N = N₀(½)^(t/t½), où N₀ est la quantité initiale, N la quantité restante et t la durée écoulée.
L'exposant t/t½ compte le nombre de demi-vies écoulées, et il n'a pas besoin d'être entier. Pour remonter à la durée, prenez un logarithme de base 2 : t = t½ · log₂(N₀/N). Si 80 g sont devenus 10 g, N₀/N = 8, log₂ 8 = 3, donc trois demi-vies se sont écoulées. La demi-vie ne dépend pas de la quantité : un gramme et une tonne d'iode 131 diminuent tous deux de moitié en 8,02 jours.
La calculatrice résout la formule pour la grandeur que vous laissez vide parmi les quatre : la quantité restante, la quantité initiale, la durée ou la demi-vie. Les deux quantités peuvent être dans n'importe quelle unité, grammes, nombre de noyaux, pourcentage ou activité en becquerels, à condition que les deux utilisent la même. Les durées peuvent être en secondes, minutes, heures, jours ou années (une année compte ici 365,25 jours), et la durée et la demi-vie peuvent être dans des unités différentes : les deux sont d'abord converties en secondes, et la réponse est donnée dans l'unité choisie et dans les autres.
Ce qu'il faut remarquer
- Après 1, 2, 3, 4 et 5 demi-vies, la fraction restante vaut 50 %, 25 %, 12,5 %, 6,25 % et 3,125 %. Chaque demi-vie divise par deux ce qui reste, pas la quantité de départ.
- Dans la formule, la décroissance n'atteint jamais tout à fait zéro. Après 10 demi-vies, il reste environ 0,1 % ; après 20, environ un millionième.
- Les quantités n'apparaissent que sous forme de rapport, N₀/N, donc leur unité se simplifie. Masse, nombre de noyaux, pourcentage et activité en becquerels conviennent tous, si les deux quantités utilisent la même unité.
- La durée et la demi-vie doivent être dans la même unité avant d'être divisées. 24 heures et une demi-vie de 6,01 heures donnent 24 / 6,01 = 3,99 demi-vies.
- La constante radioactive vaut λ = ln 2 / t½, la fraction qui se désintègre par unité de temps. N = N₀e^(−λt) est la même loi écrite avec e au lieu de ½.
Comment résoudre un problème de demi-vie
Notez ce que vous savez
Trois des quatre grandeurs : la quantité initiale N₀, la quantité restante N, la durée t et la demi-vie t½.
Mettez la durée et la demi-vie dans la même unité
Des heures avec des heures, des années avec des années. 2 jours font 48 heures ; une année fait 365,25 jours.
Pour la quantité restante, élevez ½ à la puissance t/t½
N = N₀ · (½)^(t/t½). 100 g de carbone 14 au bout de 17 190 ans : 17 190 / 5730 = 3, et 100 · (½)³ = 12,5 g.
Pour la durée, prenez un logarithme de base 2
t = t½ · log₂(N₀/N). Passer de 100 % à 25 %, c'est log₂ 4 = 2 demi-vies ; pour le carbone 14, cela fait 2 · 5730 = 11 460 ans. Sur une calculatrice sans log₂, utilisez log₂ x = ln x / ln 2.
Demi-vies d'isotopes connus
Valeurs de référence arrondies. Elles vont de quelques minutes à des milliards d'années, c'est pourquoi la calculatrice accepte des durées allant des secondes aux années.
| Isotope | Demi-vie | Où on le rencontre |
|---|---|---|
| Fluor 18 | 110 minutes | Examens TEP |
| Technétium 99m | 6,01 heures | Le traceur le plus utilisé en imagerie médicale |
| Radon 222 | 3,82 jours | Un gaz qui s'échappe des roches vers les sous-sols |
| Iode 131 | 8,02 jours | Traitement de la thyroïde |
| Polonium 210 | 138 jours | Sources alpha |
| Cobalt 60 | 5,27 ans | Radiothérapie, stérilisation du matériel médical |
| Hydrogène 3 (tritium) | 12,3 ans | Panneaux de sortie et cadrans de montre lumineux |
| Césium 137 | 30,1 ans | Retombées de Tchernobyl et de Fukushima |
| Radium 226 | 1600 ans | Anciennes peintures luminescentes |
| Carbone 14 | 5730 ans | Datation au carbone 14 |
| Plutonium 239 | 24 100 ans | Réacteurs nucléaires |
| Uranium 235 | 704 millions d'années | Combustible nucléaire |
| Potassium 40 | 1,25 milliard d'années | Bananes, corps humain, datation des roches |
| Uranium 238 | 4,47 milliards d'années | Datation des plus vieilles roches de la Terre |
Exemples résolus
La demi-vie à partir de deux mesures
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N₀ = 80, N = 10, t = 24 jIsolez la demi-vie : t½ = t / log₂(N₀/N) = 24 / log₂ 8 = 24 / 3 = 8 jours. C'est proche des 8,02 jours de l'iode 131. Choisissez les jours pour la case demi-vie et la réponse affiche 8 ; elle est aussi donnée en secondes, en heures et en années.
Combien de temps avant qu'il ne reste un quart
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N₀ = 1, N = 0,25, t½ = 8 jt = t½ · log₂(N₀/N) = 8 · log₂ 4 = 8 · 2 = 16 jours. Un quart, c'est deux divisions par deux, donc la durée vaut deux demi-vies.
Un traceur médical au bout d'un jour
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N₀ = 100, t = 24 h, t½ = 6,01 hTechnétium 99m : t/t½ = 24 / 6,01 = 3,993 demi-vies, pas un nombre entier, et ce n'est pas un problème. N = 100 · (½)^3,993 = 6,28, donc il reste 6,28 % de la dose au bout d'un jour.
Datation au carbone 14
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N₀ = 100, N = 25, t½ = 5730 ansUn os qui contient 25 % du carbone 14 d'un tissu vivant : t = 5730 · log₂(100 / 25) = 5730 · 2 = 11 460 ans.
Erreurs fréquentes
- Croire que tout a disparu après deux demi-vies. La moitié disparaît pendant la première, puis la moitié de ce qui reste : il reste 25 % après deux, 12,5 % après trois.
- Soustraire au lieu de diviser par deux. Après chaque demi-vie, la quantité est multipliée par ½ ; elle ne diminue pas de la même quantité à chaque fois.
- Diviser la durée par la demi-vie quand les deux sont dans des unités différentes. 24 heures sur une demi-vie de 8,02 jours doivent d'abord devenir 1 jour sur 8,02 jours.
- Utiliser des unités différentes pour les deux quantités. N en grammes et N₀ en pourcentage donnent un rapport qui n'a aucun sens ; les deux doivent être en grammes, en noyaux ou en pourcentage.
- Prendre ln ou log₁₀ de N₀/N et oublier de diviser par ln 2 ou log₁₀ 2. La durée vaut t½ · log₂(N₀/N), et log₂ x = ln x / ln 2.
- Inverser N et N₀. La quantité initiale est la plus grande ; N₀/N est supérieur à 1 pour tout ce qui s'est désintégré.
FAQ sur la demi-vie
Quelle est la formule de la demi-vie ?
N = N₀(½)^(t/t½), où N₀ est la quantité initiale, N la quantité restante au bout d'une durée t, et t½ la demi-vie. L'exposant t/t½ est le nombre de demi-vies écoulées.
Comment calculer une demi-vie ?
Mesurez la quantité au départ et après une durée connue, puis utilisez t½ = t / log₂(N₀/N). Si 80 unités tombent à 10 en 24 jours, log₂ 8 = 3, donc la demi-vie vaut 24 / 3 = 8 jours.
Comment trouver la durée à partir de la demi-vie ?
Utilisez t = t½ · log₂(N₀/N). Le logarithme compte les divisions par deux : passer de 100 % à 12,5 %, c'est log₂ 8 = 3 demi-vies, donc pour une demi-vie de 5730 ans la durée vaut 17 190 ans.
Combien reste-t-il après 3 demi-vies ?
Un huitième, 12,5 %. Chaque demi-vie divise par deux ce qui reste : 50 % après une, 25 % après deux, 12,5 % après trois, 6,25 % après quatre et 3,125 % après cinq.
Puis-je utiliser des grammes, des noyaux ou des pourcentages pour les quantités ?
Oui. La formule n'utilise que le rapport des deux quantités, donc toute unité convient tant que la quantité restante et la quantité initiale utilisent la même. L'activité en becquerels convient aussi, car elle diminue avec la même demi-vie.
Qu'est-ce que la constante radioactive ?
La constante radioactive λ est la fraction des noyaux qui se désintègrent par unité de temps, et λ = ln 2 / t½. Pour le carbone 14, elle vaut 0,693 / 5730 = 1,21 × 10⁻⁴ par an. La loi peut alors s'écrire N = N₀e^(−λt).
Comment la datation au carbone 14 utilise-t-elle la demi-vie ?
Les êtres vivants absorbent du carbone 14 et en gardent la même proportion que l'air. À leur mort, il se désintègre avec une demi-vie de 5730 ans. Mesurez la fraction restante et t = 5730 · log₂(N₀/N) donne l'âge : s'il reste 25 %, cela fait 11 460 ans.
