Le la à 440 Hz
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Toute onde : v = 343 m/s, f = 440 Hzλ = v/f = 343 / 440 = 0,780 m, environ 78 cm. Le son le plus grave que l'on entend, 20 Hz, a une longueur d'onde de 343 / 20 = 17,15 m ; le plus aigu, 20 kHz, seulement 1,7 cm.
Calcul de longueur d'onde
Longueur d'onde, fréquence et célérité, et l'énergie d'un photon de lumière.
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La formule de la célérité d'une onde, et ce qu'elle dit
Toute onde, sonore, à la surface de l'eau ou lumineuse, obéit à la même formule : v = fλ. La fréquence f est le nombre d'ondes qui passent en un point chaque seconde, en hertz ; la longueur d'onde λ est la distance entre deux crêtes successives, en mètres ; et v est la célérité, la vitesse à laquelle l'onde se propage, en mètres par seconde. Le son se propage dans l'air à environ 343 m/s à 20 °C, donc une note à 440 Hz a une longueur d'onde de 343 / 440 = 0,78 m.
À célérité fixée, fréquence et longueur d'onde se compensent : doublez la fréquence et la longueur d'onde est divisée par deux. Dans le vide, la lumière se propage toujours à c = 299 792 458 m/s, donc c = fλ transforme n'importe quelle longueur d'onde en fréquence. La lumière est aussi faite de photons, et chacun porte une énergie E = hf, où h = 6,62607015 × 10⁻³⁴ J·s est la constante de Planck. Une fréquence plus élevée, c'est-à-dire une longueur d'onde plus courte, signifie plus d'énergie par photon.
La calculatrice a deux onglets. L'onglet toute onde résout v = fλ : donnez deux valeurs parmi la célérité, la fréquence et la longueur d'onde, et elle trouve la troisième. L'onglet lumière n'a besoin que d'une valeur : donnez une longueur d'onde, une fréquence ou une énergie de photon, et elle trouve les deux autres avec c = fλ et E = hf. Les nanomètres, micromètres, kilohertz à térahertz et électronvolts sont d'abord convertis en SI, dans une étape à part, et chaque réponse est aussi donnée dans les autres unités.
Ce qu'il faut remarquer
- v = fλ ne donne des mètres par seconde que si f est en hertz et λ en mètres. 500 nm font 500 × 10⁻⁹ m, et 2,4 GHz font 2,4 × 10⁹ Hz.
- Quand une onde passe dans un autre milieu, sa fréquence reste la même ; la célérité et la longueur d'onde changent. Un son qui passe de l'air à l'eau va plus vite et sa longueur d'onde devient environ quatre fois plus grande.
- Pour la lumière dans le vide, la célérité vaut toujours c, donc une seule valeur suffit : la longueur d'onde fixe la fréquence, et la fréquence fixe l'énergie du photon.
- L'énergie d'un photon augmente avec la fréquence et diminue avec la longueur d'onde. La lumière violette porte plus d'énergie par photon que la rouge, et un photon X bien plus que les deux.
- Un raccourci pratique pour la lumière : l'énergie du photon en électronvolts vaut environ 1240 divisé par la longueur d'onde en nanomètres. 620 nm donnent 2,0 eV.
Comment calculer une longueur d'onde et une fréquence
Trouvez la célérité de l'onde
343 m/s pour le son dans l'air à 20 °C, environ 1500 m/s dans l'eau, 299 792 458 m/s pour la lumière dans le vide. L'énoncé la donne en général.
Mettez la fréquence en hertz et la longueur d'onde en mètres
Les kHz se multiplient par 1000, les MHz par 10⁶, les GHz par 10⁹. Les nm se multiplient par 10⁻⁹, les μm par 10⁻⁶. 100 MHz font 100 000 000 Hz.
Divisez pour obtenir celle que vous cherchez
λ = v/f pour la longueur d'onde, f = v/λ pour la fréquence, v = fλ pour la célérité. 343 / 440 = 0,78 m.
Pour la lumière, multipliez la fréquence par h pour l'énergie
E = hf, en joules. Divisez par 1,602176634 × 10⁻¹⁹ pour obtenir des électronvolts : 5,996 × 10¹⁴ Hz donnent 3,973 × 10⁻¹⁹ J, soit 2,48 eV.
Le spectre électromagnétique
Chaque domaine se propage à c dans le vide, donc longueur d'onde et fréquence sont liées par c = fλ. Les limites entre domaines sont des conventions, pas des frontières nettes ; voici les plus courantes.
| Domaine | Longueur d'onde | Fréquence | Où on le rencontre |
|---|---|---|---|
| Ondes radio | plus de 1 m | moins de 300 MHz | Radio FM à 100 MHz, 3 m |
| Micro-ondes | de 1 mm à 1 m | de 300 MHz à 300 GHz | Wi-Fi à 2,4 GHz, 12,5 cm |
| Infrarouge | de 750 nm à 1 mm | de 300 GHz à 400 THz | Chaleur des objets chauds, télécommandes |
| Lumière visible | de 380 à 750 nm | de 400 à 790 THz | Rouge du côté long, violet du côté court |
| Ultraviolet | de 10 à 380 nm | de 790 THz à 30 PHz | Coups de soleil, lumière noire |
| Rayons X | de 0,01 à 10 nm | de 30 PHz à 30 EHz | Radiographies médicales et scanners d'aéroport |
| Rayons gamma | moins de 0,01 nm | plus de 30 EHz | Désintégration radioactive |
Exemples résolus
Une onde de 3 m dans l'eau
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Toute onde : v = 1500 m/s, λ = 3 mf = v/λ = 1500 / 3 = 500 Hz. Dans l'air, le même son de 500 Hz aurait une longueur d'onde de 343 / 500 = 0,686 m : la fréquence reste, la longueur d'onde change avec la célérité.
Une lumière verte à 500 nm
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Lumière : λ = 500 nm500 nm font 5 × 10⁻⁷ m. f = c/λ = 299 792 458 / (5 × 10⁻⁷) = 5,996 × 10¹⁴ Hz, environ 600 THz. Ensuite E = hf = 6,62607015 × 10⁻³⁴ · 5,996 × 10¹⁴ = 3,973 × 10⁻¹⁹ J, soit 2,48 eV.
Une station FM à 100 MHz
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Lumière : f = 100 MHzLes ondes radio sont aussi de la lumière, donc c = fλ s'applique. 100 MHz font 10⁸ Hz, et λ = c/f = 299 792 458 / 10⁸ = 2,998 m. Chaque photon ne porte que E = hf = 6,626 × 10⁻²⁶ J, environ six millions de fois moins qu'un photon de lumière verte.
Un photon de 2 eV
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Lumière : E = 2 eVConvertissez d'abord : 2 eV = 2 · 1,602176634 × 10⁻¹⁹ = 3,204 × 10⁻¹⁹ J. Ensuite f = E/h = 4,836 × 10¹⁴ Hz, et λ = c/f = 6,199 × 10⁻⁷ m, soit 619,9 nm : la limite entre l'orange et le rouge.
Erreurs fréquentes
- Laisser les nanomètres tels quels. 500 nm font 5 × 10⁻⁷ m ; mettre 500 dans c = fλ donne une fréquence un milliard de fois trop petite.
- Confondre MHz et Hz. 100 MHz font 100 000 000 Hz, pas 100 Hz.
- Utiliser la vitesse de la lumière pour le son, ou 343 m/s pour la lumière. Chaque type d'onde a sa propre célérité, qui dépend du milieu de propagation.
- Croire que la fréquence change quand une onde entre dans l'eau ou le verre. La fréquence est fixée par la source ; la célérité et la longueur d'onde changent.
- Confondre fréquence et période. La période T est la durée d'une oscillation, T = 1/f ; une onde de 50 Hz a une période de 0,02 s.
- Mélanger joules et électronvolts dans E = hf. Avec h en J·s, l'énergie est en joules ; divisez par 1,602176634 × 10⁻¹⁹ pour obtenir des eV.
FAQ sur la longueur d'onde et la fréquence
Quelle est la formule de la célérité d'une onde ?
v = fλ : la célérité est égale à la fréquence multipliée par la longueur d'onde. Avec f en hertz et λ en mètres, v est en mètres par seconde. Une onde de 2 Hz et de 0,5 m se propage à 1 m/s.
Comment calculer la longueur d'onde à partir de la fréquence ?
Divisez la célérité par la fréquence : λ = v/f. Pour la lumière, utilisez c = 299 792 458 m/s, donc λ = c/f. Le Wi-Fi à 2,4 GHz a une longueur d'onde de 299 792 458 / (2,4 × 10⁹) = 0,125 m, environ 12,5 cm.
Comment calculer la fréquence à partir de la longueur d'onde ?
Divisez la célérité par la longueur d'onde : f = v/λ, ou f = c/λ pour la lumière. Une lumière rouge à 650 nm a une fréquence de 299 792 458 / (650 × 10⁻⁹) = 4,61 × 10¹⁴ Hz, environ 461 THz.
Comment calculer l'énergie d'un photon ?
E = hf, où h = 6,62607015 × 10⁻³⁴ J·s est la constante de Planck. À partir d'une longueur d'onde, combinez-la avec c = fλ : E = hc/λ. Un photon de 500 nm porte 3,97 × 10⁻¹⁹ J, soit 2,48 eV.
Quelle est la longueur d'onde de chaque couleur ?
En gros : violet de 380 à 450 nm, bleu de 450 à 495 nm, vert de 495 à 570 nm, jaune de 570 à 590 nm, orange de 590 à 620 nm, rouge de 620 à 750 nm. Les couleurs se fondent les unes dans les autres, donc les limites sont approximatives.
Quelle est la vitesse du son ?
Environ 343 m/s dans l'air sec à 20 °C, et 331 m/s à 0 °C ; elle augmente avec la température. Dans l'eau, elle vaut environ 1500 m/s, plus de quatre fois plus, et dans les solides encore davantage.
Pourquoi c vaut-il exactement 299 792 458 m/s ?
Depuis 1983, le mètre est défini à partir de la vitesse de la lumière : c'est la distance parcourue par la lumière dans le vide en 1/299 792 458 de seconde. c est donc exacte par définition, et la constante de Planck l'est aussi depuis 2019.
