رموز المجموعات
رموز المجموعات أبجدية صغيرة: الحاصرتان تسردان مجموعة، و∈ تقول إن عنصرًا ينتمي إليها، و∪ تضم مجموعتين، و∩ تُبقي الجزء المشترك، والشرطة العلوية تحدد كل ما عدا ذلك. وكل رمز منطقة في شكل فن.
آخر تحديث
المجموعة تجمّع من أشياء مختلفة، تُسمّى عناصرها. ورموز المجموعات هي حفنة الرموز التي تُستعمل لسرد مجموعة، وقول ما ينتمي إليها، ودمج مجموعتين في ثالثة. وهي أقل من اثني عشر رمزًا، وكل واحد منها يسمّي منطقة في شكل فن.
هنا A قواسم العدد 12 وB الأعداد الزوجية، داخل المجموعة الشاملة U = {1, 2, ..., 12}. اختر عملية وشاهد المنطقة التي تظللها.
- U = {1, 2, ..., 12}
- الأعداد الصحيحة من 1 إلى 12
- A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
- قواسم 12
- B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
- الأعداد الزوجية
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
تُقرأ A اتحاد B
كل ما في A أو في B أو في كليهما.
عدد العناصر: 8
الرموز
| الرمز | الاسم | يُقرأ | مثال بالمجموعتين أعلاه |
|---|---|---|---|
| { } | الحاصرتان | «مجموعة» | A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} |
| ∈ | ينتمي إلى | «ينتمي إلى» | 6 ∈ A |
| ∉ | لا ينتمي إلى | «لا ينتمي إلى» | 5 ∉ A |
| ⊆ | مجموعة جزئية من | «مجموعة جزئية من» | {2, 4} ⊆ B |
| ∪ | الاتحاد | «A اتحاد B» | A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} |
| ∩ | التقاطع | «A تقاطع B» | A ∩ B = {2, 4, 6, 12} |
| \ | الفرق | «A ناقص B» | A \ B = {1, 3} |
| A′ | المتممة | «متممة A» أو «ليس A» | A′ = {5, 7, 8, 9, 10, 11} |
| △ | الفرق التماثلي | «الفرق التماثلي بين A وB» | A △ B = {1, 3, 8, 10} |
| ∅ | المجموعة الخالية | «المجموعة الخالية» | A ∩ {5, 7} = ∅ |
| U | المجموعة الشاملة | «المجموعة الشاملة» | كل ما هو قيد البحث |
كل إجابة في العمود الأخير يمكن التحقق منها في الشكل أعلاه، ويستحق الأمر أن تفعله يدويًا مرة: اسرد A وB، ثم اقرأ كل عملية من القائمتين.
كتابة المجموعة
طريقة السرد تذكر العناصر بين حاصرتين: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. وتأتي معها قاعدتان. الترتيب لا يهم، والتكرار لا يهم، فـ {1, 2, 3} و{3, 2, 1} و{1, 1, 2, 3} المجموعة نفسها.
طريقة الصفة المميزة تصف العناصر بقاعدة بدلًا من ذلك:
A = {x ∈ ℕ | 12/x ∈ ℕ}
اقرأها «مجموعة الأعداد الطبيعية x حيث 12 مقسومًا على x عدد طبيعي أيضًا». والخط الرأسي يعني «حيث»؛ وبعض الكتب تستعمل النقطتين بدلًا منه. والصفة المميزة هي الطريقة الوحيدة لكتابة مجموعة فيها عدد لا نهائي من العناصر، مثل {x ∈ ℝ | x > 3}، التي تختصرها كتابة الفترات إلى (3, ∞).
ولأنظمة الأعداد حروفها الخاصة: ℕ للأعداد الطبيعية، وℤ للأعداد الصحيحة، وℚ للأعداد النسبية، وℝ للأعداد الحقيقية.
دمج مجموعتين
أربع عمليات تغطي كل الأسئلة تقريبًا:
- الاتحاد، A ∪ B: كل ما في A أو في B أو في كليهما. إنه كلمة «أو». ولا يُسرد شيء مرتين، فتظهر 2 و4 و6 و12 مرة واحدة مع أنها في المجموعتين.
- التقاطع، A ∩ B: ما هو في المجموعتين معًا فقط. إنه كلمة «و».
- الفرق، A \ B: ما هو في A وليس في B. والترتيب مهم، لأن B \ A = {8, 10} بينما A \ B = {1, 3}. وبعض الكتب تكتبه بإشارة الطرح.
- المتممة، A′: كل ما في المجموعة الشاملة وليس في A. ودون مجموعة شاملة لا تكون المتممة معرّفة، ولهذا يحيط مستطيل بكل شكل فن.
والفرق التماثلي، A △ B، هو الاتحاد بعد إخراج التقاطع منه: العناصر التي في واحدة بالضبط من المجموعتين.
الانتماء أم المجموعة الجزئية
هذان أكثر رمزين يُخلط بينهما في الموضوع، لأن كليهما يجيب عن «هل هو هناك؟».
- ∈ تربط عنصرًا بمجموعة: 2 ∈ A.
- ⊆ تربط مجموعة بمجموعة: {2} ⊆ A.
كتابة «2 ⊆ A» خطأ، لأن 2 عدد لا مجموعة، وكتابة «{2} ∈ A» خطأ للسبب المعاكس، لأن A تحوي العدد 2 لا المجموعة {2}.
تكون المجموعة مجموعة جزئية من أخرى حين يكون كل عنصر من عناصرها في الأخرى. ويكفي عنصر واحد ناقص لتصير العبارة خاطئة: A ليست مجموعة جزئية من B، لأن 1 في A وليس في B. والمجموعة الخالية مجموعة جزئية من كل مجموعة، إذ لا عنصر فيها يمكن أن ينقص.
العدّ باستعمال شكل فن
عدد عناصر المجموعة يُكتب بين خطين رأسيين: |A| = 6. ولعدّ الاتحاد، اجمع المجموعتين واطرح الجزء المشترك، الذي عُدّ مرتين:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
وبالمجموعتين أعلاه يكون ذلك 6 + 6 ناقص 4، أي 8، وهو ما تحصل عليه بعدّ الاتحاد مباشرة. هذا مبدأ الشمول والاستبعاد، وبه تُجاب أسئلة الاستبيانات مثل «كم طالبًا يدرس الفرنسية أو الإسبانية».
الإجابة 18 + 12 ناقص 5، أي 25. وإن حصلت على 30، فالطلاب الخمسة الذين يلعبون الاثنتين عُدّوا مرتين.
المجموعات والمنطق شيء واحد
الاتحاد «أو»، والتقاطع «و»، والمتممة «ليس». وهذا ليس تشبيهًا فضفاضًا: يكون العنصر في A ∩ B تمامًا عندما تكون العبارة «إنه في A وهو في B» صحيحة. وصفحة الرياضيات المتقطعة تبني جداول الصواب لهذه الكلمات، وشكل فن نفسه يظلل الاثنين.
أسئلة متكررة
- ماذا يعني الرمز ∈؟
- ∈ تعني «ينتمي إلى» أو «عنصر في». فـ 3 ∈ A تقول إن 3 أحد عناصر المجموعة A. ومع خط مائل عليها، ∉ تعني «لا ينتمي إلى»، فـ 5 ∉ A تقول إن 5 ليس في A. والرمز صورة منمقة للحرف اليوناني إبسيلون، أول حرف من كلمة element (عنصر).
- ما الفرق بين ∈ و⊆؟
- ∈ تربط عنصرًا بمجموعة، و⊆ تربط مجموعة بمجموعة. إذا كانت A = {1, 2, 3} فإن 2 ∈ A و{2} ⊆ A صحيحتان كلتاهما، أما 2 ⊆ A فخاطئة، لأن 2 عدد لا مجموعة. واقرأ ⊆ على أنها «مجموعة جزئية من»: كل عنصر في المجموعة اليسرى موجود أيضًا في المجموعة اليمنى.
- ما طريقة الصفة المميزة لكتابة المجموعة؟
- طريقة لوصف مجموعة بقاعدة بدل قائمة. تُقرأ {x | x > 3} «مجموعة كل x حيث x أكبر من 3». والخط الرأسي، أو النقطتان في بعض الكتب، يعني «حيث». وهي الطريقة العملية الوحيدة لكتابة مجموعة فيها عدد لا نهائي من العناصر.
- ما الفرق بين الاتحاد والتقاطع؟
- الاتحاد A ∪ B يحوي كل ما هو في A أو في B أو في كليهما. والتقاطع A ∩ B يحوي فقط ما هو في A وفي B في الوقت نفسه. وفي شكل فن يكون الاتحاد الدائرتين معًا والتقاطع العدسة التي تتداخلان فيها، فالتقاطع دائمًا داخل الاتحاد.
- كيف تُكتب متممة المجموعة؟
- تكتب معظم الكتب A′ (A شرطة) أو Aᶜ أو A بخط فوقها. والثلاثة تعني الشيء نفسه: كل عنصر في المجموعة الشاملة U ليس في A. والمتممة تعتمد على U، فتحقق دائمًا من المجموعة الشاملة قبل أن تسرد المتممة.
- ماذا يعني الرمز ∅؟
- ∅ هي المجموعة الخالية، المجموعة التي لا عناصر فيها. ويمكن كتابتها أيضًا {}. وهي مجموعة جزئية من كل مجموعة، لأنه لا عنصر فيها يمكن أن ينقص من مجموعة أخرى. ولاحظ أن {∅} ليست خالية: إنها مجموعة فيها عنصر واحد، وذلك العنصر هو المجموعة الخالية.
- ما الفرق بين ⊂ و⊆؟
- ⊆ تعني «مجموعة جزئية من» وتسمح بأن تكون المجموعتان متساويتين. و⊂ تعني عادة مجموعة جزئية فعلية، أصغر من المجموعة الأخرى. والكتب تختلف هنا: بعضها يستعمل ⊂ لأي مجموعة جزئية ويكتب ⊊ حين يقصد الفعلية. وحين يهم الأمر، تحقق من الاصطلاح الذي يستعمله مقررك.
