معامل الارتباط
عدد واحد بين -1 و1 يقول كم تلتصق سحابة من النقاط بخط مستقيم، وفي أي اتجاه. اسحب النقاط وشاهده يتحرك قبل أن تتعلم القانون.
آخر تحديث
ضع قياسين جنبًا إلى جنب، ساعات النوم وزمن رد الفعل، أو درجة الحرارة ومبيعات المثلجات، وارسم أحدهما مقابل الآخر. أحيانًا تنجرف النقاط صاعدة من اليسار إلى اليمين، وأحيانًا نازلة، وأحيانًا تشكّل سحابة بلا شكل. ومعامل الارتباط r يحوّل هذا الانطباع إلى عدد واحد بين -1 و1.
اسحب النقاط في الأسفل. الخطان المتقطعان يحددان متوسط x ومتوسط y، وكل نقطة ملوّنة بحسب موقعها منهما. جرّب الأمثلة الثلاثة الجاهزة أولًا، ثم اسحب نقطة واحدة بعيدًا عن البقية وشاهد ما تفعله بـ r.
اسحب النقاط. النقاط الزرقاء ترفع r والبرتقالية تخفضه: كل نقطة ملوّنة بحسب جهتها من خطَّي المتوسطين المتقطعين.
ماذا يقول العدد
يقع r دائمًا بين -1 و1، ويحمل معلومتين منفصلتين.
الإشارة هي الاتجاه. r الموجب يعني أنه عندما تكون x أكبر تميل y إلى أن تكون أكبر أيضًا. وr السالب يعني أنه عندما تكون x أكبر تميل y إلى أن تكون أصغر. ولا تقول شيئًا عن حدة الاتجاه: خط يصعد ببطء وخط يصعد بحدة قد يكون لكليهما r = 1.
المقدار هو مدى التصاق النقاط بخط مستقيم. عند 1 أو -1 بالضبط تقع كل نقطة على خط واحد. وعند 0 لا يوجد أي اتجاه خطي.
يصف المخطط أعلاه r بالحدود التي تستعملها معظم الكتب المدرسية:
| مقدار r | الوصف | شكل مخطط الانتشار |
|---|---|---|
| 1 بالضبط | تام | كل النقاط على خط واحد |
| 0.7 فأكثر | قوي | شريط واضح وضيق |
| من 0.4 إلى أقل من 0.7 | متوسط | اتجاه ظاهر مع تشتت كثير |
| من 0.1 إلى أقل من 0.4 | ضعيف | ميل لن تلاحظه دون العدد |
| أقل من 0.1 | لا ارتباط | لا اتجاه خطي |
هذه الحدود اصطلاح لا مبرهنة. وهي مفيدة لوصف نتيجة بالكلمات، وكل مجال يزيحها: فالفيزيائي الذي يقيس r = 0.9 بين كميتين يُفترض أن تتناسبا تمامًا لديه مشكلة، أما عالم النفس الذي يجد r = 0.4 بين سمتين فلديه نتيجة.
من أين يأتي القانون
كل نقطة تقع في واحدة من أربع مناطق يصنعها خطا المتوسطين المتقطعان. النقطة التي فوق المركز وإلى يمينه لها x فوق متوسطها وy فوق متوسطها. وفوقه وإلى يساره، تكون x تحت متوسطها وy فوقه. والقانون كله مبني على هذه الصورة:
r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √(Σ(x - x̄)² Σ(y - ȳ)²)
انظر إلى البسط أولًا. لكل نقطة، اضرب بُعد x عن متوسطها في بُعد y عن متوسطها. في المنطقتين العلوية اليمنى والسفلية اليسرى يكون للبُعدين الإشارة نفسها، فيكون حاصل الضرب موجبًا. وفي المنطقتين الأخريين تختلف الإشارتان ويكون حاصل الضرب سالبًا. وجمع حواصل الضرب يعطي مجموعًا إشارته هي إشارة r، ولهذا تخبرك الألوان في المخطط بالاتجاه قبل العدد: النقاط الزرقاء ترفع r والبرتقالية تخفضه.
أما المقام فيعيد القياس فقط. فهو يقسم على تشتت x وتشتت y، فلا تعود النتيجة معتمدة على الوحدات ولا يمكن أن تتجاوز 1 في أي اتجاه.
الحساب يدويًا
خذ خمس نقاط: x = 1, 2, 3, 4, 5 وy = 2, 4, 5, 4, 5. متوسط x يساوي 3 ومتوسط y يساوي 4.
| x | y | x - 3 | y - 4 | حاصل الضرب | (x - 3)² | (y - 4)² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | -2 | -2 | 4 | 4 | 4 |
| 2 | 4 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 4 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 5 | 2 | 1 | 2 | 4 | 1 |
| المجموع | 6 | 10 | 6 |
إذن r = 6/√60 = √15/5، أي نحو 0.7746: ارتباط قوي موجب.
لاحظ أن الإجابة الدقيقة جذر تربيعي. فهنا r² يساوي 3/5 بالضبط، وهو كسر عادي، وr هو جذره التربيعي مع إشارة البسط. ولهذا تطبع حاسبة معامل الارتباط قيمة r على صورة جذر وبجانبه قيمته العشرية، لا عددًا عشريًا مقرّبًا وحده.
تعطي كتب مدرسية كثيرة القانون نفسه بصورة لا تحتاج إلا إلى المجاميع، دون طرح المتوسطات أولًا:
r = (nΣxy - ΣxΣy) / √((nΣx² - (Σx)²)(nΣy² - (Σy)²))
وللنقاط الخمس نفسها n = 5 وΣx = 15 وΣy = 20 وΣxy = 66 وΣx² = 55 وΣy² = 86. البسط 5 × 66 ناقص 15 × 20 = 30، والقوسان في المقام 50 و30، فـ r = 30 / √1500، وهو √15/5 نفسه.
r وr تربيع
ربّع r تحصل على r²، معامل التحديد. وللنقاط الخمس أعلاه r² = 0.6. ويُقرأ نسبةً: خط أفضل ملاءمة المار بهذه النقاط يفسّر 60% من تغير y، والـ 40% الباقية تشتت لا يستطيع الخط تفسيره.
العددان يجيبان عن سؤالين مختلفين. r يخبرك بالاتجاه والقوة معًا، وهذا ما تريده عند وصف علاقة. وr² يُسقط الإشارة، فـ r = -0.9 وr = 0.9 يعطيان كلاهما 0.81، وهو العدد الذي يُذكر حين يكون السؤال كم يفسّر الخط. وهو أيضًا أصغر دائمًا من |r| إلا إذا كان r يساوي 0 أو ±1، فـ r = 0.5 الذي يبدو محترمًا يصير r² = 0.25: الخط يفسّر ربع التغير.
الارتباط ليس سببية
r القوي يقول إن كميتين تتحركان معًا في هذه البيانات. ولا يقول لماذا، وهناك ثلاثة أسباب شائعة لا علاقة لها بأن تسبب إحداهما الأخرى.
- كمية ثالثة تحرّكهما. مبيعات المثلجات وحوادث السباحة ترتفع وتنخفض معًا. والطقس الحار يسبب الاثنين.
- السببية تسير في الاتجاه المعاكس. طواحين الهواء تدور أسرع في الأيام التي تكون فيها الريح أقوى. الريح تدير الطواحين؛ والطواحين لا تصنع الريح.
- الصدفة. قارن سلاسل كافية لا علاقة بينها وسيتطابق بعضها بالصدفة، خاصة على عدد قليل من السنوات.
إثبات أن x تسبب y يحتاج إلى ما لا يستطيع الارتباط تقديمه: تجربة مضبوطة، أو حجة عن الآلية تستبعد البدائل.
ما لا يراه r
العدد تلخيص، والتلخيص يخفي أشياء. ثلاثة منها تستحق المعرفة.
المنحنيات. النقاط (-2, 4) و(-1, 1) و(0, 0) و(1, 1) و(2, 4) تقع تمامًا على y = x^2، ومعامل ارتباطها 0 بالضبط. النصف الأيسر نازل والأيمن صاعد، وحواصل الضرب تلغي بعضها. r يقيس العلاقات الخطية فقط، فمنحنى تام قد لا يسجّل شيئًا.
القيم الشاذة. ابدأ من النقاط الخمس أعلاه، r ≈ 0.7746، وأضف نقطة واحدة عند (10, 0). يصير r الجديد نحو -0.5529. نقطة واحدة قلبت الإشارة. ويحدث العكس أيضًا: x من 1 إلى 5 مع y = 3, 1, 4, 1, 5 لها r ضعيف ≈ 0.3536، وإضافة نقطة واحدة عند (12, 12) ترفعه إلى نحو 0.9084 دون تغيير النقاط الخمس الأخرى إطلاقًا. جرّب الأمرين في المخطط: اسحب نقطة واحدة إلى زاوية وشاهد r.
ما لا يهم. تغيير الوحدات لا يمس r. قِس x بالسنتيمترات بدل الأمتار، أو اضرب كل x في 10، ويبقى r مساويًا √15/5. وتبديل أي المتغيرين هو x وأيهما y لا يغيّر r أيضًا، بخلاف خط أفضل ملاءمة الذي يتغير عند التبديل.
فانظر إلى مخطط الانتشار قبل أن تذكر r، وافحص البواقي للخط الملائم بحثًا عن نمط قد يخفيه العدد.
جرّب واحدة
الإجابة موجبة مع أن r سالب، وهي أصغر من 0.9. إن حصلت على -0.81 فقد حملت الإشارة إلى المربع؛ وإن حصلت على 0.9 فقد تخطيت التربيع. ولإيجاد r لبياناتك، الصق العمودين في حاسبة معامل الارتباط، التي تعرض جدول المجاميع والقانون معوّضًا.
أسئلة متكررة
- ما هو معامل الارتباط؟
- معامل الارتباط r، ويُسمّى أيضًا معامل بيرسون r، عدد بين -1 و1 يقيس مدى اتباع كميتين لعلاقة خطية. إشارته تعطي الاتجاه: موجبة عندما تميل y إلى الارتفاع مع x، وسالبة عندما تميل إلى الانخفاض. ومقداره يعطي القوة: قرب 1 أو -1 تقع النقاط قريبة من خط، وقرب 0 لا يوجد أي نمط خطي.
- كيف يُحسب معامل الارتباط؟
- اطرح متوسط x من كل x ومتوسط y من كل y. اضرب كل زوج من الفروق واجمع حواصل الضرب. اقسم هذا المجموع على الجذر التربيعي لـ (مجموع مربعات فروق x) مضروبًا في (مجموع مربعات فروق y). فمع x = 1, 2, 3, 4, 5 وy = 2, 4, 5, 4, 5 يكون مجموع حواصل الضرب 6 ومجموعا المربعات 10 و6، فـ r = 6 / √60 = √15/5، أي نحو 0.7746.
- ما معامل الارتباط القوي؟
- اصطلاح شائع، وهو الذي يستعمله مخطط هذه الصفحة، يسمّي |r| من 0.7 فأكثر قويًا، ومن 0.4 إلى أقل من 0.7 متوسطًا، ومن 0.1 إلى أقل من 0.4 ضعيفًا، وما دون 0.1 لا ارتباط خطي. هذه الحدود عادة لا قانون. ففي الفيزياء قد يكون r = 0.9 مخيبًا، وفي علم النفس أو الاقتصاد قد تكون 0.4 نتيجة لافتة.
- ما الفرق بين r وr تربيع؟
- r يحتفظ بالاتجاه وr² لا يحتفظ به. r² نسبة التغير في y التي يفسّرها الخط المستقيم، فـ r = 0.7746 يعني r² = 0.6، أي أن الخط يفسّر 60% من تغير y. وr = -0.9 وr = 0.9 يعطيان كلاهما r² = 0.81: القرب نفسه والاتجاهان متعاكسان.
- هل يمكن أن يكون معامل الارتباط أكبر من 1؟
- لا. r يقع دائمًا بين -1 و1، ولا يبلغ أحد الطرفين إلا عندما تقع كل النقاط تمامًا على خط مستقيم واحد. وإن حسبت r = 1.2 فأحد المجاميع في الجدول خطأ؛ والسبب المعتاد تربيع مجموع x بدل جمع مربعات x.
- هل الارتباط يعني السببية؟
- لا. r القوي يقول إن كميتين تتحركان معًا في البيانات التي لديك. ولا يستطيع أن يقول أيهما تحرّك الأخرى، أو هل تحرّكهما كمية ثالثة. فمبيعات المثلجات وحوادث السباحة ترتفعان معًا لأن الطقس الحار يرفعهما، ولا تسبب إحداهما الأخرى. وإثبات السبب يحتاج إلى تجربة أو حجة متأنية عن الآلية، لا إلى ارتباط.
- لماذا لا يعني r = 0 عدم وجود علاقة؟
- r يقيس العلاقات الخطية فقط. النقاط (-2, 4) و(-1, 1) و(0, 0) و(1, 1) و(2, 4) تقع تمامًا على y = x²، وهي علاقة تامة، ومعامل ارتباطها 0 بالضبط، لأن النصف الأيسر النازل يلغي النصف الأيمن الصاعد. انظر دائمًا إلى مخطط الانتشار قبل أن تثق بالعدد.
تريد تجربتها على أرقامك؟
حاسبة معامل الارتباط افتح الحاسبة