ضرب الكسور
ضرب الكسور هو أسهل العمليات الأربع بفارق كبير، ويُدرَّس كأنه المُربِك، لأن القاعدة تأتي بلا سبب مرفق بها. السبب مربّع مقطوع في اتجاهين.
آخر تحديث
من بين الأشياء الأربعة التي يمكنك فعلها بزوج كسور، الضرب هو الأسهل بفارق كبير: اضرب البسطين، واضرب المقامين، انتهى. لا مقام مشترك، ولا قلب، ولا إعادة ترتيب.
وهذا يطرح السؤال الذي تتخطّاه معظم الصفحات. جمع الكسور يشترط توافق المقامات. فلماذا لا يشترط الضرب ذلك؟
القطعان يسيران في اتجاهين مختلفين، فلا حاجة أبدًا لأن يتوافقا - ولهذا لا يحتاج الضرب إلى مقام مشترك. الجواب هو منطقة التقاطع.
الجواب هو منطقة التقاطع
المربّع كلٌّ واحد. الكسر الأول يقطعه إلى أعمدة ويلوّن بعضها؛ والثاني يقطعه إلى صفوف ويلوّن بعضها. المستطيل ذو اللون القوي هو موضع تقاطع التلوينين، وذلك المستطيل هو الجواب.
مع 3/4 و2/3 يُقطَّع المربّع إلى 4 أعمدة و3 صفوف، أي 12 خليّة صغيرة. ويغطّي التقاطع 3 أعمدة في صفّين، أي 6 خلايا. ستّ من اثنتي عشرة:
3/4 * 2/3 = (3*2)/(4*3) = 6/12 = 1/2
تضاعف العددان الأعلى لأن التقاطع بعرض هذا العدد من الخلايا وبارتفاع هذا العدد. وتضاعف العددان الأسفل لأن المربّع كلّه قُطّع إلى هذا العدد من الخلايا مجتمعةً. لم يكن ليحدث شيء آخر.
والآن يجيب سؤال المقام المشترك عن نفسه. القطعان يسيران في اتجاهين مختلفين، فلا يحتاجان للتوافق أبدًا. الجمع يحتاج قطعًا متساوية لأنك تعدّ قطعًا معًا؛ وهنا لا تعدّ شيئًا معًا، بل تأخذ جزءًا من جزء.
إنها كلمة "من"
اقرأ إشارة الضرب من ولن يعُد ضرب الكسور شيئًا يُحفظ:
- نصف من النصف هو ربع — 1/2 * 1/2 = 1/4
- ثلثان من ثلاثة أرباع هو نصف — 2/3 * 3/4 = 1/2
- ثلث من 60 هو 20 — 1/3 * 60 = 20
وهذا أيضًا سبب كون مسألة مثل "ثلاثة أخماس صفّ فيه 30 طالبًا" ضربًا لا شيئًا أعقد.
هناك نتيجة تُربك الناس. الضرب في كسر أصغر من 1 يصغّر، لأنك تأخذ جزءًا منه. 3/4 * 8 = 6، و6 أقل من 8. هذا ليس خطأً؛ هذا ما تعنيه عبارة "ثلاثة أرباع من".
الأعداد الصحيحة والأعداد الكسرية
العدد الصحيح كسرٌ تحته 1، ومكتوبًا هكذا تغطّيه القاعدة نفسها:
4/5 * 10 = 4/5 * 10/1 = 40/5 = 8
أما العدد الكسري فيجب أن يصبح كسرًا غير حقيقي أولًا، لأنه لا توجد طريقة لضرب الجزء الصحيح والجزء الكسري كلًّا على حدة والوصول إلى الجواب الصحيح. 2 + 1/2 هو 5/2، إذن
5/2 * 2/3 = 10/6 = 5/3
إذا راودتك فكرة ضرب 2 في 2 ثم الأنصاف في الأثلاث، فجرّبها على 2 1/2 في 2 1/2: الجواب الصادق هو 6 1/4، والطريق المختصر يعطي 4 1/4.
اختصر أولًا فتبقى الأعداد صغيرة
لأن الحاصل كله كسر واحد، يمكن اختصار أي بسط مع أي مقام قبل الضرب. خُذ 3/4 * 8/9:
- 3 و9 يشتركان في العامل 3، فيتبقّى 1 و3
- 4 و8 يشتركان في العامل 4، فيتبقّى 1 و2
فيتبقّى 1/1 * 2/3 = 2/3 — الجواب الصحيح دون كتابة 72 أبدًا. والضرب أولًا يعطي 24/36 الذي يختصر إلى 2/3 نفسه بعد جهد أكبر قليلًا. الاختصار المبكر ليس طريقة أخرى، بل حساب أقل.
جرّب واحدة
إذا حصلت على 10/12 فالمقدار صحيح والصورة خاطئة — اختصره. وإذا بحثت عن مقام مشترك، فتلك الخطوة تخصّ الجمع، وهذه الصفحة هي سبب إمكان تخطّيها هنا.
أسئلة متكررة
- كيف نضرب الكسور؟
- اضرب البسطين معًا والمقامين معًا، ثم اختصر. فيكون 3/4 x 2/3 = 6/12، أي 1/2. لا توجد خطوة مقام مشترك ولا قلب: هذان يخصّان الجمع والقسمة.
- لماذا لا نحتاج مقامًا مشتركًا في الضرب؟
- لأن الكسرين يقطعان الكل في اتجاهين مختلفين. الجمع يشترط أن تكون القطع بالحجم نفسه لتُعدّ معًا؛ أما الضرب فيأخذ كسرًا من كسر، فيسير قطع عبر الآخر ولا يحتاجان للتوافق أبدًا. في المربّع أعلاه يقطع أحد الكسرين أعمدةً والآخر صفوفًا.
- ماذا يعني ضرب الكسور فعلًا؟
- يعني "من". نصف النصف هو الربع، وهذا بالضبط ما تقوله 1/2 x 1/2 = 1/4. قراءة إشارة الضرب بكلمة "من" تحوّل معظم المسائل اللفظية إلى حساب واضح: ثلثا 3/4 هو 2/3 x 3/4.
- كيف نضرب كسرًا في عدد صحيح؟
- اكتب العدد الصحيح على 1 وواصل كالمعتاد. يصبح 4/5 x 10 هو 4/5 x 10/1 = 40/5 = 8. يجدر الانتباه إلى أن الناتج كبر، لأن الضرب في عدد أكبر من 1 يكبّر دائمًا، بينما الضرب في كسر أصغر من 1 يصغّر دائمًا.
- هل يمكنني الاختصار قبل الضرب؟
- نعم، وهو أسهل عادةً. أي بسط يمكن اختصاره مع أي مقام قبل الضرب، لأن الحاصل كله كسر واحد. في 3/4 x 8/9 يشترك 3 و9 في العامل 3، ويشترك 4 و8 في العامل 4، فيتبقّى 1/1 x 2/3 = 2/3 دون كتابة أي عدد كبير.
تريد تجربتها على أرقامك؟
حاسبة الكسور افتح الحاسبة