قسمة الكسور
«اقلب واضرب» قاعدة موثوقة وشرح سيّئ. اسأل بدلًا من ذلك كم مرة يدخل كسر في الآخر، وعُدّها على شريط، فيتبيّن أن القلب هو الشيء الوحيد الذي كان يمكن أن يحدث.
آخر تحديث
يتعلّم الجميع تقريبًا العبارة نفسها لهذا — اقلب واضرب — ولا يُقال لأحد تقريبًا لماذا تعمل. وهذا مؤسف، لأن السبب أبسط من القاعدة ويجعل تطبيقها بالمقلوب مستحيلًا.
ابدأ بما تسأله القسمة فعلًا: كم من هذه تدخل في تلك؟ اثنا عشر على 3 يساوي 4 لأن أربع ثلاثات تدخل في 12. والكسور لا تختلف، ويمكن عدّها.
القسمة تسأل: كم مرة يدخل الكسر الثاني في الأول؟ عدّ القطع المرقّمة: هذا العدد هو الجواب، وهو سبب قلب الكسر الثاني.
عُدّ القطع فيظهر القلب
الشريط كلٌّ واحد. التلوين الباهت هو الكسر الأول — ما تقسمه. والقطع المرقّمة هي الكسر الثاني، موضوعة على طوله واحدةً تلو الأخرى، والأرقام هي العدّ.
عند القيم الابتدائية أنت تسأل كم ثُمنًا يدخل في ثلاثة أرباع. تظهر ستّ قطع، إذن:
(3/4)/(1/8) = 6
انظر الآن ما هو عدّ الأثمان. في كل كلٍّ 8 منها، فالسؤال عن كم ثُمنًا يحتوي شيء هو سؤال عن كم مرة يكون أكبر من الثُمن — وهذا ضرب في 8:
(3/4)/(1/8) = 3/4 * 8/1 = 24/4 = 6
هذا هو القلب. القسمة على كسر تحته 8 هي ضرب في 8، لأن في كل وحدة 8 منها. تحويل 1/8 إلى 8/1 ليس حيلة على الأرقام؛ بل هو السؤال مُعاد كتابته.
وللكسر المقلوب اسم، هو المقلوب، والقاعدة كاملةً: القسمة على كسر هي الضرب في مقلوبه.
الثاني وحده يُقلب
حرّك المنزلقات ليصبح الكسر الثاني أكبر من الأول فينزل العدّ تحت 1 — وتصبح القطعة الأخيرة متقطّعة، لأن جزءًا منها فقط يدخل. تلك القطعة الجزئية هي سبب كون الجواب كسرًا لا عددًا صحيحًا، وهي أيضًا تحقّق جيّد لأيّ الكسرين قلبت.
القسمة غير متماثلة، فالترتيب مهم:
(3/4)/(1/2) = 3/4 * 2/1 = 3/2
(1/2)/(3/4) = 1/2 * 4/3 = 2/3
الكسران نفسهما، وجوابان مختلفان. إن قلبت الخطأ حصلت على مقلوب الجواب الصحيح، وهو خطأ يتخفّى جيّدًا: كلاهما يبدو كسرًا معقولًا. وقول العملية بصوت عالٍ يحلّها: العدد الذي تقسم عليه هو الذي يُقلب.
الأعداد الصحيحة، في الاتجاهين
العدد الصحيح كسرٌ على 1، فالقسمة على 5 هي ضرب في 1/5:
(2/3)/5 = 2/3 * 1/5 = 2/15
وهذا ما ينبغي أن يعطيه توزيع ثلثين على خمسة أشخاص: شيء صغير. والاتجاه الآخر يستحقّ التجربة أيضًا:
6/(1/3) = 6 * 3/1 = 18
ثمانية عشر ثلثًا في ستّة أكوال. وكلّما جاء ناتج قسمة أكبر من نقطة البداية، تحقّق إن كنت قسمت على شيء أصغر من 1: إن فعلت فالجواب الأكبر صحيح، وليس زلّة.
العدد الكسري يصبح غير حقيقي أولًا
2 + 1/2 على 3/4 ليس «2 على شيء ما». اكتب العدد الكسري 5/2 فلا يبقى فيه ما هو خاص:
(5/2)/(3/4) = 5/2 * 4/3 = 20/6 = 10/3
جرّب واحدة
إذا حصلت على 8/27 فقد قلبت الكسر الأول بدل الثاني. وإذا حصلت على 2/3 في 4/9 فلم تقلب شيئًا: تحويل القسمة إلى ضرب والقلب يحدثان معًا دائمًا.
أسئلة متكررة
- كيف نقسم الكسور؟
- اقلب الكسر الثاني واضرب. فيصبح 3/4 مقسومًا على 1/8 هو 3/4 x 8/1 = 24/4 = 6. الكسر الأول يبقى كما هو تمامًا: الذي يُقلب رأسًا على عقب هو الكسر الذي تقسم عليه فقط.
- لماذا نقلب الكسر الثاني؟
- لأن القسمة تسأل كم مرة يدخل الكسر الثاني في الأول، وعدّ كم ثُمنًا يدخل في شيء هو سؤال عن كم مرة يكون ذلك أكبر من الثُمن — وهذا ضرب في 8. تحويل 1/8 إلى 8/1 هو ذلك السؤال مكتوبًا.
- أيّ الكسرين نقلب؟
- الثاني، أي المقسوم عليه. قلب الأول يعطي جوابًا مختلفًا، لأن القسمة غير متماثلة: 3/4 على 1/2 يساوي 3/2، بينما 1/2 على 3/4 يساوي 2/3. إن شككت فقل العملية بصوت عالٍ: العدد الذي تقسم عليه هو الذي يُقلب.
- لماذا يكون الجواب أكبر من البداية أحيانًا؟
- لأن القسمة على عدد أصغر من 1 تسأل كم شيئًا صغيرًا يدخل في شيء أكبر، والجواب كثير. 3/4 على 1/8 يساوي 6: ستّ قطع بحجم الثُمن تدخل في ثلاثة أرباع. القسمة لا تصغّر إلا عندما تقسم على شيء أكبر من 1.
- كيف نقسم كسرًا على عدد صحيح؟
- اكتب العدد الصحيح على 1 واقلبه، فتكون القسمة على 5 ضربًا في 1/5. فيكون 2/3 على 5 هو 2/3 x 1/5 = 2/15. وهذا يطابق معنى التوزيع: ثلثان بين خمسة أشخاص يعطي كل واحد قطعة صغيرة.
تريد تجربتها على أرقامك؟
حاسبة الكسور افتح الحاسبة