البواقي

خط أفضل ملاءمة يتوقع قيمة y لكل x. ومعظم النقاط لا تقع عليه تمامًا، والفجوة بين ما هي عليه النقطة فعلًا وما يقول الخط إنها ينبغي أن تكون هي الباقي لتلك النقطة. إنه أبسط كمية في الانحدار، عملية طرح واحدة، وقراءة البواقي هي الطريقة التي تميّز بها خطًا يلائم البيانات من خط يبدو فقط كأنه يلائمها.

اسحب النقاط في الأسفل. كل قطعة رأسية باقٍ واحد، زرقاء للنقاط فوق الخط وبرتقالية للنقاط تحته، والجدول يسرد كل واحد منها مع مجموع مربعاتها.

المرصودة ناقص المتوقعة

لنقطة إحداثياتها (x, y)، يتوقع الخط قيمة تُكتب ŷ، وتُقرأ «y قبعة». والباقي هو

e = y - ŷ

المرصودة ناقص المتوقعة، بهذا الترتيب دائمًا.

خذ النقاط الخمس x = 1, 2, 3, 4, 5 وy = 2, 4, 5, 4, 5. خط أفضل ملاءمة لها هو y = 0.6x + 2.2. عند x = 3 يتوقع الخط 0.6 × 3 + 2.2 = 4، والنقطة الفعلية (3, 5)، فالباقي 1. وعند x = 1 يتوقع 2.8 والنقطة (1, 2)، فالباقي -0.8.

ماذا تخبرك الإشارة

الباقي الموجب يعني أن النقطة فوق الخط: القيمة الفعلية أكبر من المتوقعة، فالخط قلّل تقديرها. والباقي السالب يعني أن النقطة تحت الخط وأن الخط بالغ في التقدير. والباقي صفر يعني أن النقطة تقع على الخط تمامًا.

والمقدار بوحدات y. فإذا كانت y درجة اختبار، فالباقي -0.8 يعني أن الطالب حصل على 0.8 درجة أقل مما توقعه الخط لقيمة x الخاصة به.

لماذا مجموعها صفر

انظر إلى عمود البواقي في الجدول: -0.8 و0.6 و1 و-0.6 و-0.2 مجموعها 0 بالضبط. وهذا ليس حظًا. إنه يحدث في كل خط مربعات صغرى له مقطع.

مقطع ذلك الخط يُختار b = ȳ - m x̄. اجمع البواقي y - (mx + b) على النقاط n كلها: مجموع قيم y هو nȳ، ومجموع حدود mx هو mnx̄، ومجموع حدود b هو nb. عوّض قانون b فتلغي الأجزاء الثلاثة بعضها إلى صفر. وبالكلمات: الخط موضوع بحيث تتوازن النقاط فوقه والنقاط تحته تمامًا.

ولهذا أيضًا يجب تربيع البواقي قبل أن تقيس أي شيء. فمجموعها العادي صفر دائمًا، للخط الجيد والسيئ على حد سواء.

مجموع مربعات البواقي

ربّع كل باقٍ واجمع المربعات تحصل على مجموع مربعات البواقي، ويُكتب غالبًا SSE. وللنقاط الخمس أعلاه يساوي 0.64 + 0.36 + 1 + 0.36 + 0.04 = 2.4.

خط أفضل ملاءمة يُعرَّف بأنه الخط الذي يجعل هذا العدد أصغر ما يمكن. وأي خط آخر أسوأ. فالخط y = 0.5x + 2.5 يمر هو أيضًا بنقطة المتوسطين (3, 4) ويبدو شبه مطابق على الرسم، لكن بواقيه -1 و0.5 و1 و-0.5 و0، ومجموع مربعاتها 2.5. والخط y = x + 1 يسجل 4. والحد الأدنى، 2.4، يخص y = 0.6x + 2.2 وحده.

وللتربيع أثر جانبي يستحق المعرفة. فالباقي 2 يساهم بـ 4 في المجموع، والباقي 4 يساهم بـ 16، فنقطة واحدة بعيدة عن البقية تشدّ الخط كله نحوها. اسحب نقطة واحدة إلى زاوية من المخطط أعلاه وشاهد المجموع يقفز والخط يميل.

مخططات البواقي

مخطط البواقي يضع x على المحور الأفقي وباقي كل نقطة على المحور الرأسي. فيصير الخط الملائم الخط الأفقي عند الصفر، ويصير السؤال بسيطًا: هل بقي أي نمط؟

الشريط الذي بلا نمط يعني أن الخط ملائم. بواقٍ متناثرة فوق الصفر وتحته بلا شكل، بعرض متقارب عند كل x، تقول إن الخط المستقيم التقط الاتجاه وإن ما تبقى ضوضاء.

الانحناء يعني أن الخط المستقيم شكل خطأ. لائم خطًا للمربعات 0 و1 و4 و9 و16 و25 عند x من 0 إلى 5 تحصل على y = 5x - 10/3 مع r ≈ 0.9599، وهذا يبدو ملاءمة ممتازة. لكن البواقي تقول الحقيقة:

إنها 10/3 و-2/3 و-8/3 و-8/3 و-2/3 و10/3: شكل U. الخط أعلى من اللازم في الوسط وأدنى من اللازم عند الطرفين في كل مرة، وهكذا تبدو دائمًا ملاءمة خط مستقيم لمنحنى. والقطع المكافئ يلائم هذه النقاط تمامًا، وهذا ما ستجده حاسبة الانحدار التربيعي.

المروحة تعني أن التشتت يكبر. إذا كانت البواقي صغيرة عند طرف وكبيرة عند الآخر، فقد يبقى الخط صحيحًا في المتوسط، لكن توقعاته تصير أقل دقة كلما كبرت x. والبيانات التي تنمو بنسبة مئوية، كالأسعار أو أعداد السكان، تبدو هكذا غالبًا، والنموذج الأسي هو ما يُجرَّب عادة بعد ذلك.

البواقي والقيم الشاذة

النقطة ذات الباقي الكبير على نحو غير عادي، بعيدًا فوق الخط أو تحته مقارنة بالأخريات، قيمة شاذة في y. وهي تستحق نظرة ثانية: قد تكون خطأ في الإدخال، أو حالة مختلفة فعلًا.

أما النقطة البعيدة إلى يسار البقية أو يمينها فمشكلة من نوع آخر. لأن الخط يدور حول نقطة المتوسطين، فالنقطة البعيدة في x لها ذراع طويلة وتستطيع أن تجر الخط نحوها، وقد يترك ذلك لها باقيًا صغيرًا مع أنها غيّرت الخط أكثر من غيرها. فالباقي الصغير لا يثبت أن النقطة عادية. في المخطط أعلاه، اسحب النقطة التي في أقصى اليمين إلى أسفل مباشرة وشاهد الخط يتبعها.

جرّب واحدة

خط أفضل ملاءمة هو y = 0.6x + 2.2، وإحدى نقاط البيانات هي (4, 4). ما باقي هذه النقطة؟

الخط يتوقع 4.6 والنقطة عند 4، فالنقطة تقع تحت الخط بمقدار 0.6. وإن حصلت على 0.6 فقد أجريت الطرح بالاتجاه المعاكس: إنه دائمًا المرصودة ناقص المتوقعة. ولبياناتك أنت، تعطيك حاسبة الانحدار الخطي الخط ومجموع مربعات بواقيه، وتبيّن صفحة معامل الارتباط ما تعنيه قوة الملاءمة عددًا واحدًا.