صيغة النقطة والميل

يعطيك كل سؤال عن المستقيمات تقريبًا نقطةً وميلًا، أو نقطتين. وقلّما يعطيك أيٌّ منها تقاطع المستقيم مع محور y. ومع ذلك تكون y = mx + b غالبًا الصيغة الوحيدة التي يعرف الناس كتابتها، فيُنفَق سطر ونصف في إيجاد b لم يسأل عنه أحد.

صيغة النقطة والميل تتخطّى ذلك. اسحب النقطة في الأسفل وشاهد المعادلة وهي تتبعها.

من أين يأتي القانون

الميل هو الارتفاع مقسومًا على التقدّم بين أي نقطتين على المستقيم. ثبّت إحداهما عند نقطة تعرفها، (x₁, y₁)، ودَعِ الأخرى نقطةً عامة (x, y). عندئذٍ

m = (y - y₁)/(x - x₁)

اضرب الطرفين في x - x₁ فيزول الكسر:

y - y₁ = m(x - x₁)

هذا هو الاشتقاق كله. صيغة النقطة والميل ليست فكرة جديدة، بل قانون الميل وقد أُلغيت منه القسمة، ولهذا يحقّقها كل نقاط المستقيم وتصلح انطلاقًا من أي نقطة عليه.

عمليتا الطرح كلتاهما مسافتان من نقطتك

إشارتا الطرح تؤدّيان العمل نفسه على محورين مختلفين: كم تقدّمت عن x₁ وكم ارتفعت عن y₁. وحين تُقرأ هكذا تكفّ الإشارتان عن كونهما شيئًا يُحفظ.

لكنهما تعضّان حين يكون أحد الإحداثيين سالبًا. المستقيم الذي ميله 2 ويمرّ بالنقطة (-3, 4) هو

y - 4 = 2(x + 3)

لأن طرح -3 هو إضافة 3. فظهور إشارة الجمع هناك ليس خطأً، بل كتابة x - 3 هي الخطأ.

حرّك النقطة في الشكل إلى الربع الثالث وشاهد الإشارتين تنقلبان. هذا هو الجزء الذي يولّد أكثر الإجابات خطأً في هذه الصيغة، وثلاثون ثانية من المشاهدة تعالجه أفضل من أي قاعدة.

نقطتان ومستقيم واحد

لتكن (1, 1) و(4, 7): أوجد الميل أولًا، ثم ضع أيًّا من النقطتين.

m = (7 - 1)/(4 - 1) = 6/3 = 2

باستعمال النقطة الأولى نحصل على y - 1 = 2(x - 1)، وبالثانية على y - 7 = 2(x - 4). لا تشبه إحداهما الأخرى، وهما المستقيم نفسه: افتح أيًّا منهما فتصل إلى y = 2x - 1.

الأجدر أن تثق بهذا لا أن تشكّ فيه. فإذا خالفت إجابتك ما في الكتاب، افتح الصيغتين قبل أن تفترض أنك مخطئ.

التحويل إلى صيغة الميل والمقطع

حين يطلب السؤال فعلًا y = mx + b فالتحويل حركتان: افتح القوس، ثم اجعل y وحدها.

انطلاقًا من y - 3 = 2(x - 1): الفتح يعطي y - 3 = 2x - 2، وإضافة 3 إلى الطرفين تعطي y = 2x + 1.

ويظهر في النهاية ذلك الـ b الذي لم تضطر إلى التفكير فيه، وهذا هو المقصود. القيام بالعمل كان لصيغة النقطة والميل، وصيغة الميل والمقطع مجرّد قالب.

جرّب واحدة

y - 3 = 2(x - 1)

أشيع زلّة هنا هي فتح 2(x - 1) إلى 2x - 1. فالعدد 2 يجب أن يصل إلى الحدّين داخل القوس، وهذه خاصية التوزيع تؤدّي عملها المعتاد.

أي صيغة لأي سؤال

صيغة النقطة والميل هي صيغة كتابة المستقيم، وصيغة الميل والمقطع هي صيغة قراءته. ومعظم المسائل تحتاج إليهما معًا، بهذا الترتيب.