خط أفضل ملاءمة
عبر أي سحابة من النقاط يوجد خط واحد بالضبط يخطئها بأقل قدر، مقيسًا بطريقة المربعات الصغرى. اسحب النقاط فيتحرك ليبقى الأفضل.
آخر تحديث
ارسم أي بيانات حقيقية وسترفض النقاط أن تقع على خط واحد. ومع ذلك يمكنك رسم خط عبر السحابة يلتقط الاتجاه، وأشخاص مختلفون بمساطرهم سيرسمون خطوطًا مختلفة قليلًا. وخط أفضل ملاءمة يحسم الخلاف: هناك خط واحد هو الأفضل بمقياس دقيق، وقانون يجده.
اسحب أي نقطة في الأسفل فيتحرك الخط ليبقى الأفضل ملاءمة. اسحب نقطة بعيدًا عن الأخريات ولاحظ كم تشدّ الخط نحوها.
اسحب أي نقطة فيتحرك المستقيم ليبقى الأفضل ملاءمة. والنقاط البعيدة عن البقية تشدّه أكثر من غيرها.
ماذا تعني «الأفضل»
الخط يخطئ كل نقطة بمسافة رأسية: قيمة y الفعلية للنقطة ناقص قيمة y التي يتوقعها الخط عند تلك x. وتلك المسافة هي الباقي لتلك النقطة. والخط الجيد ينبغي أن يجعل البواقي صغيرة، لكن لا يمكنك أن تجمعها ببساطة، لأن الأخطاء فوق الخط موجبة والأخطاء تحته سالبة، فتلغي بعضها.
لذلك يُربَّع كل باقٍ أولًا، فيُحسب كل خطأ، ويُحسب الخطأ الكبير أكثر بكثير من الصغير. وخط أفضل ملاءمة هو الخط الذي يجعل مجموع مربعات البواقي أصغر ما يمكن. ولهذا يُسمّى خط المربعات الصغرى، ولأي مجموعة نقاط ليست قيم x فيها كلها متساوية يوجد خط واحد فقط منه.
القانونان
اكتب الخط y = mx + b، واكتب متوسطي البيانات x̄ وȳ. تصغير مجموع المربعات يعطي الميل والمقطع مباشرة:
m = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / Σ(x - x̄)²
b = ȳ - m x̄
بسط قانون الميل هو مجموع حواصل الضرب نفسه الذي في بسط معامل الارتباط، ولهذا يكون للميل ولـ r الإشارة نفسها دائمًا. أما المقام فلا يتضمن إلا x: فهو يقيس مدى تشتت قيم x.
مثال محلول
خمس نقاط: x = 2, 4, 6, 8, 10 وy = 3, 7, 8, 12, 15. متوسط x يساوي 6 ومتوسط y يساوي 9.
| x | y | x - 6 | y - 9 | حاصل الضرب | (x - 6)² |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | -4 | -6 | 24 | 16 |
| 4 | 7 | -2 | -2 | 4 | 4 |
| 6 | 8 | 0 | -1 | 0 | 0 |
| 8 | 12 | 2 | 3 | 6 | 4 |
| 10 | 15 | 4 | 6 | 24 | 16 |
| المجموع | 58 | 40 |
الميل m = 58/40 = 29/20، أي 1.45. ولإيجاد المقطع، عوّض نقطة المتوسطين في الخط وحل لإيجاد b:
إذن b = 3/10 وخط أفضل ملاءمة هو y = 1.45x + 0.3. وحاسبة الانحدار الخطي تقوم بالعمل نفسه بصورة القانونين التي تعتمد على المجاميع، وتعرض كل مجموع.
يمر دائمًا بنقطة المتوسطين
أعد ترتيب قانون المقطع تحصل على ȳ = m x̄ + b. وهذا يقول إن النقطة (x̄, ȳ) تقع تمامًا على الخط، أيًا كانت البيانات. وفي المثال، 1.45 × 6 + 0.3 = 9.
وهذا تحقق مفيد من أي خط تحسبه، وبداية مفيدة حين ترسم خطًا بالعين: حدّد نقطة المتوسطين أولًا، ثم أدر المسطرة حولها حتى تتوازن النقاط على الجانبين.
لكن المرور بنقطة المتوسطين لا يكفي وحده. فمع x = 1, 2, 3, 4, 5 وy = 2, 4, 5, 4, 5 تكون نقطة المتوسطين (3, 4) وخط المربعات الصغرى y = 0.6x + 2.2، ومجموع مربعات بواقيه 2.4. والخطان y = 0.5x + 2.5 وy = x + 1 يمران كلاهما بـ (3, 4) أيضًا، ومجموعا مربعاتهما 2.5 و4. ومن بين كل الخطوط المارة بتلك النقطة، الميل 0.6 وحده ينزل إلى 2.4.
التوقع بالخط
بعد أن تحصل على الخط، يصير التوقع تعويضًا. فمع y = 1.45x + 0.3، تعطي x = 7 القيمة 1.45 × 7 + 0.3 = 10.45.
هذا التوقع استكمال داخلي: 7 تقع داخل البيانات، بين النقطتين عند 6 و8، فهناك دليل على الجانبين أن الاتجاه قائم هناك. والتوقع خارج مدى البيانات استقراء خارجي، ولا شيء في البيانات يدعمه.
حالة ملموسة. ستة طلاب درسوا من 1 إلى 6 ساعات وحصلوا على 52 و58 و61 و67 و70 و76. خط أفضل ملاءمة هو y = 162/35x + 47.8، بميل نحو 4.63 درجة لكل ساعة، مع r ≈ 0.9959. وداخل البيانات يتوقع جيدًا: 4.5 ساعة تعطي نحو 68.63. لكن استقرئ إلى 12 ساعة فيتوقع نحو 103.34، في اختبار درجته من 100. الخط سليم؛ لكن الاتجاه الذي يصفه يتوقف في مكان ما بعد البيانات، والخط لا يمكنه أن يعرف أين.
حين يكون الخط المستقيم الشكل الخطأ
خط أفضل ملاءمة موجود دائمًا، حتى عندما يكون الخط المستقيم النموذج الخطأ. فالمربعات 0 و1 و4 و9 و16 و25 عند x من 0 إلى 5 لها خط أفضل ملاءمة y = 5x - 10/3 مع r ≈ 0.9599، وهذا يبدو ممتازًا، ومع ذلك فالنقاط تقع على منحنى. والبواقي تكشف الأمر: موجبة عند الطرفين وسالبة في الوسط. وصفحة البواقي تشرح كيف يُقرأ هذا النمط، وحاسبة الانحدار التربيعي تلائم المنحنى بدلًا من ذلك.
جرّب واحدة
النقطة الفعلية عند x = 4 هي (4, 7)، فالخط يخطئها بمقدار 0.9. وهذا الخطأ هو باقي النقطة، ومجموع مربعات الأخطاء الخمسة كلها، 1.9، هو أصغر ما يمكن لأي خط مستقيم أن يبلغه لهذه النقاط.
أسئلة متكررة
- ما خط أفضل ملاءمة؟
- خط مستقيم يُرسم عبر مخطط انتشار ليلخّص اتجاه النقاط. وخط أفضل ملاءمة بالمعنى الدقيق هو خط انحدار المربعات الصغرى: من بين كل الخطوط المستقيمة الممكنة، الخط الذي تعطي أخطاؤه الرأسية عن النقاط، مربّعةً ومجموعة، أصغر مجموع.
- كيف تجد خط أفضل ملاءمة؟
- جد متوسط x ومتوسط y. الميل هو مجموع (x ناقص متوسط x) مضروبًا في (y ناقص متوسط y)، مقسومًا على مجموع مربعات (x ناقص متوسط x). والمقطع هو متوسط y ناقص الميل مضروبًا في متوسط x. فمع x = 2, 4, 6, 8, 10 وy = 3, 7, 8, 12, 15 يكون الميل 58/40 = 1.45 والمقطع 9 ناقص 1.45 × 6 = 0.3، أي y = 1.45x + 0.3.
- هل يجب أن يمر خط أفضل ملاءمة بنقطة الأصل؟
- لا. إنه يمر بنقطة المتوسطين لا بنقطة الأصل. وإجباره على المرور بـ (0, 0) نموذج مختلف، لا يُستعمل إلا حين يوجد سبب يجعل y مساوية 0 عندما x تساوي 0، وهو في العادة يلائم النقاط أسوأ.
- هل يجب أن يمر خط أفضل ملاءمة بأي من النقاط؟
- لا، وفي العادة لا يمر بأي منها. النقطة الوحيدة التي يمر بها دائمًا هي (متوسط x، متوسط y)، وكثيرًا ما لا تكون تلك النقطة من نقاط البيانات. والخط الذي يُرسم ليلمس أكبر عدد ممكن من النقاط ليس خط المربعات الصغرى.
- ما الفرق بين الاستكمال الداخلي والاستقراء الخارجي؟
- الاستكمال الداخلي هو توقع y لقيمة x داخل مدى البيانات، حيث للخط نقاط على الجانبين تدعمه. والاستقراء الخارجي هو التوقع خارج ذلك المدى، حيث لا شيء في البيانات يقول إن الاتجاه يستمر. الاستكمال الداخلي جدير بالثقة عمومًا حين تكون الملاءمة جيدة؛ أما الاستقراء الخارجي فقد يكون خاطئًا جدًا حتى مع r قريب من 1.
- هل خط أفضل ملاءمة هو نفسه الانحدار الخطي؟
- نعم، بالمعنى المعتاد. الانحدار الخطي هو الطريقة، وخط المربعات الصغرى الذي ينتجه هو خط أفضل ملاءمة. والخط الذي يُرسم بالعين على رسم بياني يُسمّى أيضًا خط أفضل ملاءمة في المدرسة، لكنه تقدير لخط الانحدار لا الخط نفسه.
تريد تجربتها على أرقامك؟
حاسبة الانحدار الخطي افتح الحاسبة