Funktionsschreibweise
Der eine Lesefehler, der dieses ganze Thema entgleisen lässt, ist f(x) als f mal x. Eine Maschine mit einem Schlitz lässt sich mit nichts multiplizieren - deshalb schlägt das Bild die Erklärung.
Zuletzt aktualisiert
Fast alle begegnen f(x) und lesen es als f mal x. Das ist keine Schlamperei - an jeder anderen Stelle der Algebra werden zwei nebeneinander geschriebene Dinge tatsächlich multipliziert. 2x wird es. a(b+c) wird es.
Die Abhilfe ist also keine Warnung, sondern ein anderes Bild: eine Maschine, in die man eine Zahl fallen lässt.
Achte auf die Klammern um die Eingabe. f(x) ist nicht f mal x - es ist der Name der Maschine und danach das, was du hineingeworfen hast.
Der Name, und dann das, was du hineingegeben hast
Lies f(3) laut als „f von 3", nicht als „f drei". Das f ist der Name der Maschine, und die Klammern halten das, was hineinging. Es wird nichts multipliziert, denn eine Maschine ist keine Größe.
Mit diesem Bild verdient sich die Schreibweise ihren Platz. Sie hält zwei Tatsachen in einem Symbol fest - was hineinging und was herauskam -, was ein schlichtes y nicht kann. y = 7 nennt eine Ausgabe; f(2) = 7 nennt die Ausgabe und die Eingabe, die sie erzeugt hat.
Sie lässt außerdem mehrere Funktionen eine Seite teilen, ohne zu kollidieren. Sind f und g im Spiel, sind f(2) und g(2) eindeutig, wo zwei y es nicht wären.
Auswerten: einsetzen, in Klammern
Für f(3) ersetzt du jedes x in der Regel durch 3 - und schreibst es dabei in Klammern.
Mit f(x) = 2x + 1:
f(3) = 2(3) + 1 = 7
Bei einer positiven Zahl wirken die Klammern pedantisch. Das hören sie in dem Moment auf, in dem die Eingabe negativ ist:
f(-2) = 2(-2) + 1 = -3
Ohne sie schreibt man 2 - 2 + 1 und erhält 1, was auf nichts eine Antwort ist. Diese eine Gewohnheit beseitigt die meisten Vorzeichenfehler in diesem Thema.
Die Eingabe muss auch keine Zahl sein. Füttert man die Maschine mit a + 1, ergibt sich f(a+1) = 2(a+1) + 1 = 2a + 3 - dieselbe Einsetzung, nur mit einem Klumpen statt einer Ziffer.
Jeder Wert ist ein Punkt
Gib der Maschine ein paar Eingaben und schreib die Paare auf:
| x | f(x) | als Punkt |
|---|---|---|
| -2 | -3 | (-2, -3) |
| 0 | 1 | (0, 1) |
| 3 | 7 | (3, 7) |
Diese Paare sind Koordinaten - die Ausgaben einer Funktion sind also ein Bild.
Deshalb zeichnen f(x) = 2x + 1 und y = 2x + 1 dieselbe Gerade. Es ist dieselbe Regel; die Funktionsschreibweise behält nur den Namen der Eingabe bei.
f(7) und f(x) = 7 sind entgegengesetzte Fragen
Bei dieser Unterscheidung lohnt es sich, langsamer zu werden.
f(7) gibt der Maschine eine 7 und fragt, was herauskommt. Das ist eine Einsetzung und braucht eine Zeile.
f(x) = 7 sagt, dass etwas als 7 herauskam, und fragt, was hineinging. Das ist eine Gleichung, die gelöst werden will:
Also ist f(4) = 9. Vorwärts ist Rechnen, rückwärts ist Algebra, und die Schreibweise sieht in beiden Richtungen fast gleich aus - genau deshalb lohnt es sich, den Unterschied einmal zu benennen.
Probier eins
Wenn f(x) = 2x + 1 ist, was ist dann f(-4)?
Wenn -3 oder 9 herauskam, liegt es an den Klammern: Die Eingabe muss mit der 2 multipliziert werden, nicht zu ihr addiert oder von ihr abgezogen.
Zwei Wörter, die als Nächstes kommen
Die Menge der Eingaben, die eine Maschine annimmt, ist ihr Definitionsbereich; die Menge der Ausgaben, die sie erzeugen kann, ihr Wertebereich. Beide werden meist in Intervallschreibweise notiert, und beide sind Fragen über die Maschine, nicht über irgendeine einzelne Zahl, die man hineingegeben hat.
Häufige Fragen
- Was bedeutet f(x)?
- Es ist die Ausgabe der Funktion namens f, wenn man ihr x gibt. Das f ist ein Name, wie das Schild an einer Maschine, und die Klammern halten das, was man hineingibt. Es ist nicht f mal x - die Klammern heißen hier „angewendet auf", nicht „mal".
- Wie berechnet man f(3)?
- Ersetze jedes x in der Regel durch 3, in Klammern, und rechne aus. Ist f(x) = 2x + 1, dann ist f(3) = 2(3) + 1 = 7. Die Klammern um die Zahl zu behalten verhindert, dass eine negative Eingabe schiefgeht: f(-2) = 2(-2) + 1 = -3, während man ohne sie leicht 2 - 2 + 1 schreibt.
- Warum f(x) statt y schreiben?
- Weil es sagt, welche Eingabe die Ausgabe erzeugt hat. Mit y kann man y = 5 schreiben, aber nicht, dass die 5 von x = 2 kam; mit Funktionsschreibweise trägt f(2) = 5 beides in einem Symbol. Außerdem können mehrere Funktionen - f, g, h - eine Seite teilen, ohne dass ihre Ausgaben durcheinandergeraten.
- Was ist der Unterschied zwischen f(x) = 7 und f(7)?
- Es sind entgegengesetzte Fragen. f(7) gibt der Maschine eine 7 und fragt, was herauskommt. f(x) = 7 sagt, dass etwas als 7 herauskam, und fragt, was hineinging - das heißt, eine Gleichung lösen statt einsetzen. Diese beiden zu verwechseln ist der zweithäufigste Fehler im Thema.
- Darf ich andere Buchstaben als f und x nehmen?
- Ja, und du wirst es tun. f, g und h sind für Funktionen üblich und x für die Eingabe, aber nichts hängt an den Buchstaben: g(t) = 3t benennt eine Funktion g mit Eingabe t und verhält sich genauso. Anwendungsaufgaben wählen oft sprechende Buchstaben, etwa h(t) für eine Höhe nach t Sekunden.
Jetzt mach es selbst, richtig
Den Rechenweg von jemand anderem zu lesen ist nicht dasselbe, wie ihn selbst gehen zu können. Der Mathe-Kurs von Coddy setzt dich an ein Board, das jeden deiner Schritte prüft - so merkst du, wo du wirklich stehst.
Mit deinen eigenen Zahlen ausprobieren?
Equation Solver Rechner öffnen