SOHCAHTOA
Gegen- und Ankathete sind keine Eigenschaften einer Seite, sondern einer Seite bezogen auf einen Winkel. Fast jeder SOHCAHTOA-Fehler ist dieser Satz, der nicht angekommen ist.
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SOHCAHTOA ist eine gute Merkhilfe für etwas, das die meisten schon halb wissen, und sie tut nichts gegen das, was tatsächlich schiefgeht. Der Fehler liegt fast nie an den Buchstaben. Er liegt daran, dass „Gegenkathete" und „Ankathete" wie auf das Dreieck gemalte Etiketten behandelt wurden, obwohl sie vollständig davon abhängen, an welchem Winkel man steht.
Verändere unten das Dreieck und schalte dann den markierten Winkel von A auf B: Die Bezeichnungen tauschen, ohne dass sich eine einzige Linie bewegt.
Wechsle den markierten Winkel. Das Dreieck bewegt sich nicht, aber Gegen- und Ankathete tauschen die Plätze - deshalb brauchen diese beiden Wörter immer einen Winkel dazu.
Benenne die Seiten vom Winkel aus, nicht vom Blatt aus
Die Hypotenuse ist die einfache: immer die längste Seite, immer die dem rechten Winkel gegenüber, und sie wechselt nie, egal von welchem spitzen Winkel aus du arbeitest.
Die anderen beiden wechseln sehr wohl:
- die Gegenkathete ist die Seite, die deinen Winkel nicht berührt;
- die Ankathete ist die Kathete, die ihn berührt.
Das ist die ganze Benennungsregel, und deshalb hat die Abbildung einen A/B-Schalter. In einem 3-4-5-Dreieck ist die Seite der Länge 4 dem einen Winkel gegenüber und am anderen anliegend. Zu fragen, ob die 4 „die Gegenkathete ist", ist eine Frage ohne Antwort, solange kein Winkel genannt wurde.
Die drei Verhältnisse
Mit benannten Seiten bedeutet die Merkhilfe endlich etwas:
| Verhältnis | ist | Merkhilfe |
|---|---|---|
| Sinus | Gegenkathete durch Hypotenuse | SOH |
| Kosinus | Ankathete durch Hypotenuse | CAH |
| Tangens | Gegenkathete durch Ankathete | TOA |
Zwei davon benutzen die Hypotenuse; der Tangens ist der Außenseiter und benutzt keine. Das ist oft der schnellste Weg zur Wahl: Kommt die Hypotenuse in der Aufgabe nirgends vor, willst du den Tangens.
Warum die Größe egal ist
Hier ist die Tatsache, die Trigonometrie überhaupt möglich macht. Verdopple jede Seite eines rechtwinkligen Dreiecks - die Winkel bleiben gleich, und jedes Verhältnis auch, weil sich die Verdopplung wegkürzt:
(2*3)/(2*5) = 3/5
Der Sinus eines Winkels ist also eine Eigenschaft des Winkels, nicht irgendeines bestimmten Dreiecks. Genau deshalb kann es eine Sinustabelle geben, und deshalb kann ein Taschenrechner antworten, ohne die Größe von irgendetwas zu kennen.
Bewege die zwei Regler in der Abbildung so, dass ihr Verhältnis gleich bleibt - 3 und 4, dann 6 und 8 - und sieh zu, wie die drei Anzeigen stehen bleiben.
Das richtige Verhältnis wählen
Die Methode ist immer dieselbe, in drei Schritten.
- Markiere deinen Winkel und beschrifte von ihm aus die drei Seiten.
- Schau, welche zwei Seiten in der Aufgabe vorkommen: eine bekannte, eine gesuchte.
- Nimm das Verhältnis, das aus diesen beiden gebaut ist.
Eine 10 Meter lange Leiter lehnt in 65° zum Boden; wie hoch reicht sie? Die Leiter ist die Hypotenuse, die Höhe ist die dem Winkel gegenüberliegende Seite - Gegenkathete und Hypotenuse heißt Sinus: sin(65°) = h/10, also h = 10sin(65°).
Nichts an dieser Überlegung bestand darin, sich eine Formel für Leitern zu merken.
Probier eins
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 6 und 8, seine Hypotenuse ist also 10. Wie groß ist der Sinus des Winkels, der der Kathete der Länge 6 gegenüber liegt?
Wenn 6/8 herauskam, wurde die Hypotenuse mit einer Kathete verwechselt - genau der Fehler, gegen den es das Wort „Hypotenuse" gibt.
Wohin es weitergeht
Zwei Richtungen von hier aus. Manche Winkel liefern exakte Verhältnisse ganz ohne Taschenrechner - die 30-60-90- und 45-45-90-Dreiecke - und die lohnt es sich auswendig zu können. Darüber hinaus nimmt der Einheitskreis dieselben drei Verhältnisse und löst sie vom Dreieck, sodass sie auch jenseits von 90 Grad noch etwas bedeuten.
Häufige Fragen
- Wofür steht SOHCAHTOA?
- Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Kosinus ist Ankathete durch Hypotenuse, Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete. Es ist eine Merkhilfe für die drei Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck und nützt nur, wenn man weiß, welche Seite als Gegen- und welche als Ankathete zählt - was vom gewählten Winkel abhängt.
- Welche Seite ist die Gegen- und welche die Ankathete?
- Wähl zuerst deinen Winkel. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite, immer die gegenüber dem rechten Winkel, und sie wechselt nie. Von den beiden übrigen Seiten ist die, die deinen Winkel nicht berührt, die Gegenkathete; die, die ihn berührt, die Ankathete. Wechselt man zum anderen spitzen Winkel, tauschen die beiden.
- Woher weiß ich, ob Sinus, Kosinus oder Tangens?
- Beschrifte die drei Seiten relativ zu deinem Winkel und schau, welche zwei in der Aufgabe vorkommen. Nennt sie Gegenkathete und Hypotenuse, ist es der Sinus; Ankathete und Hypotenuse, der Kosinus; beide Katheten ohne Hypotenuse, der Tangens. Die Wahl hängt davon ab, was du hast und was du suchst, nicht von der Form.
- Warum ändert sich das Verhältnis nicht, wenn das Dreieck größer wird?
- Weil das Vergrößern jede Seite mit demselben Faktor multipliziert, sodass jedes Verhältnis zweier Seiten gleich bleibt - der Faktor kürzt sich oben und unten weg. Zwei rechtwinklige Dreiecke mit gleichen Winkeln sind ähnlich, deshalb ist der Sinus von 30 Grad in einem münzgroßen Dreieck dieselbe Zahl wie in einem feldgroßen.
- Funktioniert SOHCAHTOA auch ohne rechten Winkel?
- Nein. Alle drei Verhältnisse sind über ein rechtwinkliges Dreieck definiert, also braucht ein Dreieck ohne rechten Winkel andere Werkzeuge: den Sinussatz oder den Kosinussatz. Ein gängiger Trick ist, eine Höhe einzuzeichnen und es in zwei rechtwinklige Dreiecke zu zerlegen - genau so werden beide Sätze auch hergeleitet.
Jetzt mach es selbst, richtig
Den Rechenweg von jemand anderem zu lesen ist nicht dasselbe, wie ihn selbst gehen zu können. Der Mathe-Kurs von Coddy setzt dich an ein Board, das jeden deiner Schritte prüft - so merkst du, wo du wirklich stehst.
