Intervallschreibweise
Es gibt keinen Weg, von „die 3 gehört dazu" zu „also eckige Klammer" zu schließen - es ist Konvention. Was sie sitzen lässt, ist zu sehen, wie sich alle drei Schreibweisen zugleich bewegen.
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Die Intervallschreibweise ist nicht schwer. Sie ist willkürlich, und das ist schlimmer. Es gibt kein Argument, das von „die 3 gehört zu dieser Menge" zu „also eckige Klammer" führt - jemand hat es so festgelegt, und nun muss man es wissen.
Was sie tatsächlich sitzen lässt, ist zuzusehen, wie sich die drei Schreibweisen gleichzeitig bewegen. Zieh unten an einem Ende und schalte es dann zwischen enthalten und ausgeschlossen um.
Verschieb eine Grenze und schalte sie dann zwischen enthalten und ausgeschlossen um. Die Klammer ändert die Form und der Punkt füllt sich - zwei Schreibweisen für eine Tatsache.
Die zwei Klammern
Jedes Intervall wird mit dem kleineren Ende zuerst geschrieben, dem größeren danach, und jedes Ende trägt eine von zwei Markierungen:
| gemeint ist | Ungleichung | Schreibweise | auf dem Strahl |
|---|---|---|---|
| das Ende gehört dazu | x <= 7 | 7] | voller Punkt |
| das Ende gehört nicht dazu | x < 7 | 7) | offener Punkt |
Das ist die ganze Konvention. Alles andere ist Buchhaltung.
-2 <= x < 5 - zweieinhalb Gedanken in einer Zeile - wird also
[-2, 5). Die eckige Klammer links sagt, dass -2 dazugehört; die runde rechts
sagt, dass 5 es nicht tut.
Eine brauchbare Kontrolle: die Klammerform zeigt in dieselbe Richtung wie das Zeichen. Die eckige Klammer hat ein flaches, geschlossenes Ende - wie der Strich unter dem ≤. Die runde ist offen und gerundet, wie das schlichte <.
Unendlich ist immer offen
x > 3 hat kein oberes Ende, also schreibt man (3, ∞).
Achte auf die runde Klammer rechts. Das ist keine Stilfrage, sondern
erzwungen. Eine eckige Klammer heißt „dieses Ende gehört zur Menge", und
Unendlich ist keine Zahl, kann also in nichts enthalten sein. [3, ∞] zu
schreiben behauptet, irgendein Wert sei unendlich - deshalb gilt es in jedem
Lehrbuch als falsch.
Auf der anderen Seite genauso: x <= 5 ist (-∞, 5] - offen gegen das Unendliche, geschlossen gegen die 5.
Zwei Stücke auf einmal
Manche Mengen sind nicht aus einem Stück. „Alles unter -2 oder über 5" passt in kein einzelnes Intervall, weil die Zahlen dazwischen nicht dazugehören. Verbinde die Stücke mit einer Vereinigung:
(-∞, -2) ∪ (5, ∞)
Schreib immer das linke Stück zuerst und nie rückwärts als [5, -2]. Die erste
Zahl eines Intervalls ist die kleinere, also beschreibt ein verkehrtes
Intervall überhaupt nichts.
Diese Form begegnet einem vor allem bei Definitionsmengen. Die Definitionsmenge von 1/(x-3) ist jede Zahl außer 3, als Intervalle also (-∞, 3) ∪ (3, ∞) - der Zahlenstrahl mit einem herausgestanzten Punkt.
Von einer Ungleichung zum Intervall
Die meisten Aufgaben geben eine Ungleichung zum Lösen und wollen die Antwort dann als Intervall, beide Hälften zählen also gleich viel. Zuerst lösen:
Die Antwort ist x < 5. Es gibt kein unteres Ende, und die 5 ist ausgeschlossen, in Intervallschreibweise also (-∞, 5).
Eine Falle beim Lösen: Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl dreht das Zeichen um. Aus -3x <= 12 wird x >= -4, nicht x <= -4 - und wer das Umdrehen übersieht, bekommt ein Intervall, das genau in die falsche Richtung zeigt.
Probier eins
Sag die Antwort danach laut als Intervall, bevor du weitergehst. Lösen können und aufschreiben können sind zwei getrennte Fertigkeiten, und bei der zweiten gehen die Punkte verloren.
Häufige Fragen
- Was ist die Intervallschreibweise?
- Eine kurze Art, ein Stück des Zahlenstrahls aufzuschreiben. Man nennt beide Enden der Reihe nach, das kleinere zuerst, und die Klammerform sagt, ob das jeweilige Ende dazugehört: eckig schließt es ein, rund schließt es aus. So bedeutet [2, 7) alles von 2 bis 7, ohne die 7.
- Wann eckige und wann runde Klammer?
- Eckig für ein Ende, das zur Menge gehört, rund für eines, das nicht dazugehört. Das entspricht direkt dem Ungleichheitszeichen: kleiner oder gleich bekommt eckig, echt kleiner bekommt rund. Auf dem Zahlenstrahl ist derselbe Unterschied ein ausgefüllter gegen einen offenen Punkt.
- Warum steht bei Unendlich immer eine runde Klammer?
- Weil Unendlich keine Zahl ist, kann nichts gleich Unendlich sein. Ein Ende bekommt nur dann eine eckige Klammer, wenn die Menge diesen Wert enthält, und keine Menge enthält Unendlich. Deshalb heißt es (-∞, 5] oder [3, ∞) - nie eine eckige Klammer am Unendlichzeichen.
- Wie schreibe ich zwei getrennte Stücke?
- Man verbindet sie mit dem Vereinigungszeichen ∪ und schreibt das linke Stück zuerst: (-∞, -2) ∪ (5, ∞) ist alles unter -2 zusammen mit allem über 5. So sieht eine Ungleichung mit „oder" in Intervallschreibweise aus, und sie taucht ständig bei Definitionsmengen auf, aus denen ein Wert herausfallen muss.
- Was ist der Unterschied zur Mengenschreibweise?
- Beide beschreiben dieselben Mengen in verschiedenen Stilen. Die Intervallschreibweise nennt die zwei Enden und überlässt das Detail den Klammern; die Mengenschreibweise schreibt die Bedingung aus, etwa die Menge aller x mit 2 kleiner oder gleich x und x kleiner 7. Die Intervallform ist kürzer und wird für Definitions- und Wertemengen meist erwartet.
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