Punkt-Steigungs-Form
Die Normalform braucht genau den einen Punkt, den fast keine Aufgabe hergibt. Die Punkt-Steigungs-Form nimmt den Punkt, den du tatsächlich bekommen hast - darum greift man zuerst zu ihr.
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Fast jede Aufgabe zu Geraden gibt einen Punkt und eine Steigung oder zwei Punkte. Fast keine gibt den y-Achsenabschnitt. Trotzdem ist y = mx + b meist die einzige Form, die man hinschreiben kann - also verbringt man anderthalb Zeilen damit, nach einem b aufzulösen, nach dem niemand gefragt hat.
Die Punkt-Steigungs-Form überspringt das. Zieh unten den Punkt und sieh zu, wie die Gleichung ihm folgt.
Zieh den Punkt irgendwohin. Die Gleichung schreibt sich um den Punkt neu, auf dem du landest - die Gerade muss die y-Achse nicht bei einer ganzen Zahl schneiden.
Woher die Formel kommt
Die Steigung ist der Höhenunterschied durch den waagerechten Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten der Geraden. Halt einen davon an einem bekannten Punkt fest, (x₁, y₁), und lass den anderen ein allgemeiner Punkt (x, y) sein. Dann gilt
m = (y - y₁)/(x - x₁)
Multipliziere beide Seiten mit x - x₁, und der Bruch verschwindet:
y - y₁ = m(x - x₁)
Das ist die ganze Herleitung. Die Punkt-Steigungs-Form ist keine neue Idee - sie ist die Steigungsformel mit rückgängig gemachter Division, weshalb jede Gerade sie erfüllt und sie von jedem Punkt auf ihr aus funktioniert.
Beide Subtraktionen sind Abstände von deinem Punkt
Die zwei Minuszeichen tun dasselbe auf verschiedenen Achsen: wie weit nach rechts von x₁ und wie weit nach oben von y₁. So gelesen sind die Vorzeichen nichts mehr zum Auswendiglernen.
Zubeißen tun sie, wenn eine Koordinate negativ ist. Eine Gerade mit der Steigung 2 durch (-3, 4) lautet
y - 4 = 2(x + 3)
denn -3 zu subtrahieren heißt 3 zu addieren. Ein Pluszeichen dort ist kein Fehler; x - 3 zu schreiben schon.
Verschieb den Punkt in der Abbildung in den dritten Quadranten und sieh zu, wie beide Vorzeichen kippen. Das ist der Teil dieser Form, der die meisten falschen Antworten erzeugt, und dreißig Sekunden Hinsehen helfen besser als eine Regel.
Zwei Punkte, eine Gerade
Gegeben (1, 1) und (4, 7): zuerst die Steigung, dann einen der beiden Punkte einsetzen.
m = (7 - 1)/(4 - 1) = 6/3 = 2
Mit dem ersten Punkt ergibt sich y - 1 = 2(x - 1), mit dem zweiten y - 7 = 2(x - 4). Sie sehen völlig verschieden aus und sind dieselbe Gerade - multipliziere eine von beiden aus und du bekommst y = 2x - 1.
Darauf sollte man vertrauen, statt zu zweifeln. Wenn deine Antwort von der Lösung im Buch abweicht, forme beide um, bevor du annimmst, dass du falsch liegst.
Umformen in die Normalform
Wenn eine Aufgabe wirklich y = mx + b will, sind es zwei Schritte: Klammer ausmultiplizieren, dann y allein stellen.
Von y - 3 = 2(x - 1) aus: Ausmultiplizieren gibt y - 3 = 2x - 2, und 3 auf beiden Seiten addiert ergibt y = 2x + 1.
Das b, über das du nie nachdenken musstest, taucht am Ende auf - und darum geht es. Die Arbeit hat die Punkt-Steigungs-Form erledigt; die Normalform ist nur das Format.
Probier eins
Der häufigste Ausrutscher hier ist, 2(x - 1) zu 2x - 1 auszumultiplizieren. Die 2 muss beide Terme in der Klammer erreichen - das Distributivgesetz bei seiner üblichen Arbeit.
Welche Form für welche Frage
| gegeben ist | nimm |
|---|---|
| ein Punkt und eine Steigung | Punkt-Steigungs-Form |
| zwei Punkte | die Steigung daraus, dann Punkt-Steigungs-Form |
| der y-Achsenabschnitt und eine Steigung | Normalform |
| eine Gleichung, die schnell gezeichnet werden soll | Normalform |
| eine Gerade parallel oder senkrecht zu einer anderen, durch einen Punkt | Punkt-Steigungs-Form |
Die Punkt-Steigungs-Form ist die Form zum Schreiben einer Geraden, die Normalform die zum Lesen. Die meisten Aufgaben brauchen beide, in dieser Reihenfolge.
Häufige Fragen
- Was ist die Punkt-Steigungs-Form?
- Die Gleichung y - y1 = m(x - x1), wobei m die Steigung ist und (x1, y1) irgendein Punkt, durch den die Gerade geht. Sie ist die direkte Übersetzung der Steigungsformel: der Höhenunterschied vom bekannten Punkt aus, geteilt durch den waagerechten Abstand vom selben Punkt, ist immer m - und das Multiplizieren mit diesem Abstand beseitigt den Bruch.
- Wann nehme ich die Punkt-Steigungs-Form statt der Normalform?
- Immer dann, wenn der gegebene Punkt nicht der y-Achsenabschnitt ist, also fast immer. Die Normalform braucht b, also müsste man von einem beliebigen Punkt aus erst nach b auflösen. Mit der Punkt-Steigungs-Form schreibt man die Antwort sofort hin und formt danach um, falls die Aufgabe es überhaupt verlangt.
- Wie finde ich die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte?
- Zuerst die Steigung ausrechnen: die Differenz der y-Werte geteilt durch die Differenz der x-Werte. Dann einen der beiden Punkte wählen - wirklich einen beliebigen - und in die Punkt-Steigungs-Form einsetzen. Umformen ist nur nötig, wenn eine bestimmte Form verlangt wird.
- Warum stehen in der Formel zwei Minuszeichen?
- Weil beides Differenzen sind, gemessen vom bekannten Punkt aus: wie weit nach rechts von x1 und wie weit nach oben von y1. Ist eine Koordinate negativ, wird aus der Subtraktion eine Addition - und genau dort passieren die meisten Fehler: ein Punkt bei (-3, 4) ergibt y - 4 = m(x + 3), und dieses Plus ist richtig.
- Ist es egal, welchen der beiden Punkte ich nehme?
- Ja. Die beiden Gleichungen sehen verschieden aus und beschreiben genau dieselbe Gerade: Formt man beide in die Normalform um, kommt dasselbe heraus. Die meisten Lehrkräfte akzeptieren beide, und wenn eine Form verlangt ist, klärt das Umformen die Sache.
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