Brüche multiplizieren
Brüche zu multiplizieren ist mit Abstand die leichteste der vier Operationen und wird als die verwirrende unterrichtet, weil die Regel ohne jeden Grund kommt. Der Grund ist ein Quadrat, in zwei Richtungen geschnitten.
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Von den vier Dingen, die man mit einem Bruchpaar tun kann, ist Multiplizieren mit Abstand das leichteste: Zähler multiplizieren, Nenner multiplizieren, fertig. Kein gemeinsamer Nenner, kein Umdrehen, kein Umstellen.
Damit stellt sich die Frage, die fast jede Seite überspringt. Beim Addieren müssen die Nenner übereinstimmen. Warum beim Multiplizieren nicht?
Die beiden Schnitte laufen in verschiedene Richtungen, sie müssen also nie zueinander passen - deshalb braucht Multiplizieren keinen gemeinsamen Nenner. Die Antwort ist die Überlappung.
Die Antwort ist die Überlappung
Das Quadrat ist ein Ganzes. Der erste Bruch schneidet es in Spalten und färbt einige davon; der zweite schneidet es in Zeilen und färbt einige davon. Das stark gefärbte Rechteck ist dort, wo sich die beiden Färbungen überlappen, und dieses Rechteck ist die Antwort.
Bei 3/4 und 2/3 wird das Quadrat in 4 Spalten und 3 Zeilen geschnitten, das macht 12 kleine Felder. Die Überlappung deckt 3 Spalten mal 2 Zeilen ab, also 6 Felder. Sechs von zwölf:
3/4 * 2/3 = (3*2)/(4*3) = 6/12 = 1/2
Die beiden oberen Zahlen wurden multipliziert, weil die Überlappung so viele Felder breit und so viele hoch ist. Die beiden unteren wurden multipliziert, weil das ganze Quadrat in so viele Felder insgesamt geschnitten wurde. Etwas anderes konnte nicht passieren.
Und jetzt beantwortet sich die Nennerfrage selbst. Die beiden Schnitte laufen in verschiedene Richtungen, sie müssen also nie zueinander passen. Addieren braucht gleiche Stücke, weil man Stücke zusammen zählt; hier zählt man nichts zusammen, man nimmt einen Teil eines Teils.
Es bedeutet das Wort "von"
Lies das Malzeichen als von, und das Multiplizieren von Brüchen muss nicht mehr erinnert werden:
- die Hälfte von einer Hälfte ist ein Viertel — 1/2 * 1/2 = 1/4
- zwei Drittel von drei Vierteln ist eine Hälfte — 2/3 * 3/4 = 1/2
- ein Drittel von 60 ist 20 — 1/3 * 60 = 20
Das ist auch der Grund, warum eine Aufgabe wie "drei Fünftel der Klasse von 30" eine Multiplikation ist und nichts Komplizierteres.
Eine Folge überrascht viele. Multiplizieren mit einem Bruch unter 1 macht kleiner, weil man einen Teil davon nimmt. 3/4 * 8 = 6, und 6 ist weniger als 8. Das ist kein Fehler, sondern was "drei Viertel von" bedeutet.
Ganze und gemischte Zahlen
Eine ganze Zahl ist ein Bruch mit 1 darunter, und so geschrieben deckt dieselbe Regel sie ab:
4/5 * 10 = 4/5 * 10/1 = 40/5 = 8
Eine gemischte Zahl muss zuerst zu einem unechten Bruch werden, denn es gibt keinen Weg, den ganzen Teil und den Bruchteil getrennt zu multiplizieren und richtig zu liegen. 2 + 1/2 ist 5/2, also
5/2 * 2/3 = 10/6 = 5/3
Wenn du versucht bist, die 2 mit der 2 und dann die Hälften mit den Dritteln zu multiplizieren, probiere 2 1/2 mal 2 1/2: die ehrliche Antwort ist 6 1/4, die Abkürzung gibt 4 1/4.
Erst kürzen, dann bleiben die Zahlen klein
Weil das gesamte Produkt ein einziger Bruch ist, darf jeder Zähler vor dem Multiplizieren gegen jeden Nenner gekürzt werden. Nimm 3/4 * 8/9:
- 3 und 9 haben den Faktor 3 gemeinsam, es bleiben 1 und 3
- 4 und 8 haben den Faktor 4 gemeinsam, es bleiben 1 und 2
es bleibt 1/1 * 2/3 = 2/3 — die richtige Antwort, ohne dass je 72 geschrieben wurde. Erst multiplizieren gibt 24/36, was mit etwas mehr Arbeit auf dasselbe 2/3 gekürzt wird. Frühes Kürzen ist keine andere Methode, nur weniger Rechnen.
Probier eine
Wenn 10/12 herauskam, ist das die richtige Menge in der falschen Form - kürze sie. Wenn du einen gemeinsamen Nenner gesucht hast: dieser Schritt gehört zum Addieren, und diese Seite ist der Grund, warum er hier entfallen kann.
Häufige Fragen
- Wie multipliziert man Brüche?
- Multipliziere die beiden Zähler miteinander und die beiden Nenner miteinander, dann kürze. Also 3/4 x 2/3 = 6/12, und das ist 1/2. Es gibt keinen Schritt mit gemeinsamem Nenner und kein Umdrehen - das gehört zum Addieren und zum Dividieren.
- Warum braucht man zum Multiplizieren keinen gemeinsamen Nenner?
- Weil die beiden Brüche das Ganze in verschiedene Richtungen schneiden. Addieren verlangt gleich große Stücke, damit sie zusammen gezählt werden können; Multiplizieren nimmt einen Bruch VON einem Bruch, also läuft ein Schnitt quer über den anderen und sie müssen nie zueinander passen. Im Quadrat oben schneidet ein Bruch Spalten und der andere Zeilen.
- Was bedeutet das Multiplizieren von Brüchen eigentlich?
- Es bedeutet "von". Die Hälfte einer Hälfte ist ein Viertel, und genau das sagt 1/2 x 1/2 = 1/4. Das Malzeichen als das Wort "von" zu lesen macht aus fast jeder Textaufgabe eine offensichtliche Rechnung: zwei Drittel von 3/4 ist 2/3 x 3/4.
- Wie multipliziert man einen Bruch mit einer ganzen Zahl?
- Schreibe die ganze Zahl über 1 und rechne normal weiter. 4/5 x 10 wird zu 4/5 x 10/1 = 40/5 = 8. Beachte, dass die Antwort größer wurde: Multiplizieren mit einer Zahl über 1 vergrößert immer, Multiplizieren mit einem Bruch unter 1 verkleinert immer.
- Darf man vor dem Multiplizieren kürzen?
- Ja, und meist ist es einfacher. Jeder Zähler darf vor dem Multiplizieren gegen jeden Nenner gekürzt werden, weil das gesamte Produkt ein einziger Bruch ist. In 3/4 x 8/9 haben 3 und 9 den Faktor 3 gemeinsam und 4 und 8 den Faktor 4, es bleibt 1/1 x 2/3 = 2/3 - ohne dass je eine große Zahl aufgeschrieben wurde.
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