Das 30-60-90-Dreieck
Nur zwei Dreiecke haben Seitenverhältnisse, die exakt genug sind, um sie hinzuschreiben - und darum sind es die einzigen, die man im Kopf löst. Beide entstehen, indem man eine bekannte Figur halbiert.
Zuletzt aktualisiert
Jedes rechtwinklige Dreieck hat Verhältnisse zwischen seinen Seiten. Bei fast allen sind das hässliche Dezimalzahlen, für die man einen Rechner braucht. Bei genau zweien sind es kurze, exakte Ausdrücke, die man hinschreiben kann - und darum tauchen sie in Aufgabe um Aufgabe auf.
Wechsle unten zwischen ihnen und ändere auch die Größe.
Bewege den Regler. Jede Seite ändert sich, die drei Winkel nicht - deshalb klärt ein einziges gemerktes Verhältnis ein Dreieck jeder Größe.
Woher das 30-60-90 kommt
Beginne mit einem gleichseitigen Dreieck: drei gleiche Seiten, drei 60°-Winkel. Schneide es genau in der Mitte durch, von der Spitze bis zum Mittelpunkt der Grundseite.
Der Schnitt steht senkrecht auf der Grundseite, du hast also einen rechten Winkel. Einer der 60°-Winkel an der Grundseite bleibt unangetastet. Der 60er an der Spitze wird halbiert und damit zu 30°. Das ist dein 30-60-90-Dreieck - und es stammt aus einer Figur, deren Seiten du schon kanntest.
Jetzt lies die Seiten ab. Hatte das gleichseitige Dreieck Seiten der Länge 2, ist die Hypotenuse der Hälfte weiterhin 2 und die Grundseite auf 1 halbiert. Die Höhe folgt aus Pythagoras:
h^2 = 2^2 - 1^2 = 3, also h = sqrt(3).
Seiten 1, sqrt(3) und 2 - das ist das Verhältnis, und es ist exakt, weil es aus einer exakten Konstruktion stammt und nicht aus einer Messung.
Welche Seite wohin gehört
Die Regel, die die meisten Fehler verhindert: die größte Seite liegt dem größten Winkel gegenüber.
| Winkel | Seite | Länge |
|---|---|---|
| 30° | kurze Kathete | x |
| 60° | lange Kathete | x√3 |
| 90° | Hypotenuse | 2x |
Die Hypotenuse ist also doppelt so lang wie die kurze Seite, nie wie die lange. Und da sqrt(3) etwa 1,73 ist, liegt die lange Kathete zwischen den anderen beiden - eine schnelle Plausibilitätsprüfung für jede Antwort.
Das 45-45-90 ist ein halbiertes Quadrat
Gleicher Trick, andere Figur. Nimm ein Quadrat der Seitenlänge 1 und schneide es entlang seiner Diagonale. Beide verbleibenden Winkel sind 45°, die beiden Katheten sind gleich, und die Diagonale ist die Hypotenuse:
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, also d = sqrt(2).
Verhältnis 1 : 1 : sqrt(2). Dieses taucht überall dort auf, wo es Quadrate gibt: Bildschirmdiagonalen, Fliesen, Schachbretter.
Eine fehlende Seite finden
Arbeite dich immer zur kurzen Seite zurück und skaliere dann hoch.
Hypotenuse gegeben. Ein 30-60-90 mit Hypotenuse 14: halbieren, die kurze Seite ist 7, und die lange Kathete ist 7sqrt(3).
Lange Kathete gegeben. Ein 30-60-90 mit langer Kathete 9: durch sqrt(3) teilen ergibt die kurze Seite 3sqrt(3), also ist die Hypotenuse 6sqrt(3).
Eine Kathete eines 45-45-90 gegeben. Die andere ist genauso lang, und die Hypotenuse ist diese Kathete mal sqrt(2).
Bewege dabei den Regler in der Abbildung - die Rechnungen oben sind nur die Anzeige bei drei verschiedenen Größen.
Probier eins
Ein 30-60-90-Dreieck hat die kurze Seite 6. Wie lang ist seine lange Kathete?
Lass es als 6sqrt(3) stehen und nicht als 10,39. Die exakte Form ist die, mit der der nächste Schritt einer Aufgabe tatsächlich weiterarbeiten kann, und sie ist das, worauf eine Korrektur schaut.
Die exakten trigonometrischen Werte fallen direkt ab
Weil diese beiden Dreiecke exakte Seiten haben, haben sie exakte Sinus- und Kosinuswerte - und daher stammen die Zahlen in jeder Einheitskreis-Tabelle:
| Winkel | sin | cos |
|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | √3/2 | 1/2 |
Drei verschiedene Werte im ganzen ersten Quadranten, und 30° und 60° sind dasselbe Paar, nur vertauscht - genau das, was man von einem Dreieck erwartet, das von seinen zwei spitzen Winkeln aus gelesen wird.
Häufige Fragen
- Wie sind die Seiten eines 30-60-90-Dreiecks?
- Im Verhältnis 1 : √3 : 2. Die kürzeste Seite liegt dem 30-Grad-Winkel gegenüber, die längste ist die Hypotenuse und genau doppelt so lang wie die kurze, und die übrige Seite ist die kurze mal Wurzel 3. Jedes 30-60-90-Dreieck der Welt hat diese Verhältnisse, gleich welcher Größe.
- Woher kommt das 30-60-90-Verhältnis?
- Halbiere ein gleichseitiges Dreieck entlang seiner Höhe. Einer der 60-Grad-Winkel an der Grundseite bleibt erhalten, der 60er an der Spitze wird zu 30 halbiert, und der Schnitt erzeugt einen rechten Winkel. Auch die Grundseite wird halbiert, also ist die kurze Seite genau die Hälfte der ursprünglichen Seite - deshalb ist die Hypotenuse doppelt so lang wie die kurze. Die Höhe folgt dann aus Pythagoras.
- Wie sind die Seiten eines 45-45-90-Dreiecks?
- Im Verhältnis 1 : 1 : √2. Seine beiden Katheten sind gleich, weil die beiden 45-Grad-Winkel gleich sind, und die Hypotenuse ist eine Kathete mal Wurzel 2 - das ist Pythagoras, angewandt auf ein entlang seiner Diagonale zerschnittenes Quadrat, denn genau das ist dieses Dreieck.
- Wie finde ich eine fehlende Seite in einem besonderen Dreieck?
- Arbeite dich zuerst zur kurzen Seite zurück und skaliere dann. Ist die Hypotenuse eines 30-60-90 gegeben, halbiere sie, um die kurze Seite zu bekommen; ist die lange Kathete gegeben, teile durch Wurzel 3. Steht die kurze Seite fest, sind die anderen beiden diese Seite mal Wurzel 3 und mal 2.
- Warum auswendig lernen, wenn es Taschenrechner gibt?
- Weil die Antworten exakt sind und die des Rechners nicht. Ein Rechner zeigt 8,660254, wo die Wahrheit 5√3 lautet, und ein exakter Wert ist das, was der nächste Schritt braucht - kürzen, vereinfachen oder eine Antwort als Wurzelausdruck stehen lassen. Prüfungen nutzen diese zwei Dreiecke außerdem ständig, gerade weil sie ohne Taschenrechner lösbar sind.
Jetzt mach es selbst, richtig
Den Rechenweg von jemand anderem zu lesen ist nicht dasselbe, wie ihn selbst gehen zu können. Der Mathe-Kurs von Coddy setzt dich an ein Board, das jeden deiner Schritte prüft - so merkst du, wo du wirklich stehst.
