Il triangolo 30-60-90
Solo due triangoli hanno rapporti tra i lati abbastanza esatti da poterli scrivere, ed è per questo che sono gli unici che risolvi a mente. Entrambi nascono tagliando a metà una figura che conosci già.
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Ogni triangolo rettangolo ha dei rapporti tra i suoi lati. Per quasi tutti quei rapporti sono decimali scomodi che richiedono la calcolatrice. Per esattamente due, sono espressioni esatte e brevi che puoi scrivere: ed è per questo che quei due ricompaiono in un esercizio dopo l'altro.
Passa dall'uno all'altro qui sotto e cambia la grandezza.
Sposta il cursore. Tutti i lati cambiano e i tre angoli no: per questo un solo rapporto ricordato risolve un triangolo di qualsiasi grandezza.
Da dove viene il 30-60-90
Parti da un triangolo equilatero: tre lati uguali, tre angoli di 60°. Taglialo dritto a metà, dal vertice in alto al punto medio della base.
Il taglio è perpendicolare alla base, quindi hai un angolo retto. Uno degli angoli di 60° alla base resta intatto. Il 60° in alto viene diviso a metà, quindi diventa 30°. Ecco il tuo triangolo 30-60-90, ed è nato da una figura di cui conoscevi già i lati.
Ora leggi i lati. Se l'equilatero aveva lati di 2, l'ipotenusa della metà è ancora 2 e la base si è dimezzata a 1. L'altezza viene da Pitagora:
h^2 = 2^2 - 1^2 = 3, quindi h = sqrt(3).
Lati 1, sqrt(3) e 2: questo è il rapporto, ed è esatto perché viene da una costruzione esatta, non da una misura.
Quale lato va dove
La regola che evita la maggior parte degli errori: il lato più grande è opposto all'angolo più grande.
| angolo | lato | lunghezza |
|---|---|---|
| 30° | cateto minore | x |
| 60° | cateto maggiore | x√3 |
| 90° | ipotenusa | 2x |
Quindi l'ipotenusa è il doppio del lato corto, mai del lungo. E dato che sqrt(3) vale circa 1,73, il cateto maggiore sta tra gli altri due: un controllo rapido su qualsiasi risposta che scrivi.
Il 45-45-90 è un quadrato tagliato a metà
Stesso trucco, figura diversa. Prendi un quadrato di lato 1 e taglialo lungo la diagonale. I due angoli rimasti sono di 45°, i due cateti sono uguali e la diagonale è l'ipotenusa:
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, quindi d = sqrt(2).
Rapporto 1 : 1 : sqrt(2). Questo compare ovunque ci siano quadrati: diagonali di schermi, piastrelle, scacchiere.
Trovare un lato mancante
Risali sempre al lato corto, poi scala.
Data l'ipotenusa. Un triangolo 30-60-90 con ipotenusa 14: dimezzala, quindi il lato corto è 7, e il cateto maggiore è 7sqrt(3).
Dato il cateto maggiore. Un triangolo 30-60-90 con cateto maggiore 9: dividi per sqrt(3) per avere il lato corto, 3sqrt(3), quindi l'ipotenusa è 6sqrt(3).
Dato un cateto di un 45-45-90. L'altro cateto è uguale, e l'ipotenusa è quel cateto per sqrt(2).
Sposta il cursore nella figura mentre leggi: i calcoli qui sopra sono solo la lettura a tre grandezze diverse.
Provane uno
Un triangolo 30-60-90 ha il lato corto di 6. Quanto misura il cateto maggiore?
Lascialo come 6sqrt(3) e non come 10,39. La forma esatta è quella che il passaggio successivo di un problema può davvero usare, ed è quella che cerca chi corregge.
I valori trigonometrici esatti vengono da soli
Dato che questi due triangoli hanno lati esatti, hanno seni e coseni esatti, ed è da qui che vengono i numeri di ogni tabella della circonferenza goniometrica:
| angolo | sen | cos |
|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | √3/2 | 1/2 |
Tre valori distinti in tutto il primo quadrante, e 30° e 60° sono la stessa coppia scambiata: esattamente ciò che ti aspetti da un unico triangolo letto dai suoi due angoli acuti.
Domande frequenti
- Quali sono i lati di un triangolo 30-60-90?
- Stanno nel rapporto 1 : √3 : 2. Il lato più corto è opposto all'angolo di 30 gradi, il più lungo è l'ipotenusa ed è esattamente il doppio del più corto, e il lato restante è il più corto per la radice quadrata di 3. Ogni triangolo 30-60-90 che esista ha queste proporzioni, qualunque sia la sua grandezza.
- Da dove viene il rapporto del 30-60-90?
- Taglia a metà un triangolo equilatero lungo la sua altezza. I due angoli di 60 gradi alla base restano, il 60 in alto si dimezza in 30, e il taglio forma un angolo retto. Anche la base si dimezza, quindi il lato corto è esattamente metà del lato originale: ecco perché l'ipotenusa è il doppio del lato corto. L'altezza poi si ricava con Pitagora.
- Quali sono i lati di un triangolo 45-45-90?
- Stanno nel rapporto 1 : 1 : √2. I due cateti sono uguali perché i due angoli di 45 gradi sono uguali, e l'ipotenusa è un cateto per la radice quadrata di 2: è Pitagora applicato a un quadrato tagliato lungo la diagonale, perché è esattamente questo il triangolo.
- Come trovo un lato mancante in un triangolo particolare?
- Trova prima il lato corto, poi scala. Se hai l'ipotenusa di un triangolo 30-60-90, dimezzala per avere il lato corto; se hai il cateto lungo, dividilo per la radice quadrata di 3. Una volta noto il lato corto, gli altri due sono il lato corto per √3 e il lato corto per 2.
- Perché dovrei ricordarli se esiste la calcolatrice?
- Perché le risposte sono esatte e quelle della calcolatrice no. La calcolatrice dà 8,660254 mentre il valore vero è 5√3, e un valore esatto è ciò che serve nei passaggi successivi: semplificare, eliminare, o lasciare un risultato sotto forma di radice. Anche le verifiche usano di continuo questi due triangoli proprio perché si risolvono senza calcolatrice.
