Retta passante per un punto
La forma esplicita ha bisogno dell'unico punto che quasi nessun esercizio ti dà. L'equazione della retta per un punto usa proprio il punto che ti hanno dato, ed è per questo che è la prima da tirare fuori.
Ultimo aggiornamento
Quasi tutti gli esercizi sulle rette ti danno un punto e un coefficiente angolare, oppure due punti. Quasi nessuno ti dà l'intersezione con l'asse y. Eppure y = mx + b è di solito l'unica forma che si sa scrivere, e così si spende una riga e mezza a ricavare una b che nessuno ha chiesto.
L'equazione della retta per un punto salta quel passaggio. Trascina il punto qui sotto e guarda l'equazione che lo segue.
Trascina il punto dove vuoi. L'equazione si riscrive attorno al punto su cui arrivi: la retta non deve per forza tagliare l'asse y in un numero intero.
Da dove viene la formula
Il coefficiente angolare è lo spostamento verticale diviso lo spostamento orizzontale tra due punti qualsiasi della retta. Fissane uno in un punto che conosci, (x₁, y₁), e lascia che l'altro sia un punto generico (x, y). Allora
m = (y - y₁)/(x - x₁)
Moltiplica entrambi i membri per x - x₁ e la frazione sparisce:
y - y₁ = m(x - x₁)
Questa è tutta la dimostrazione. L'equazione per un punto non è un'idea nuova: è la formula del coefficiente angolare con la divisione annullata, ed è per questo che ogni punto della retta la soddisfa e che funziona partendo da qualsiasi punto della retta.
Le due sottrazioni sono distanze dal tuo punto
I due segni meno fanno lo stesso lavoro su assi diversi: quanto ti sposti in orizzontale da x₁ e quanto sali da y₁. Letti così, i segni smettono di essere qualcosa da memorizzare.
Però mordono quando una coordinata è negativa. Una retta con coefficiente angolare 2 che passa per (-3, 4) è
y - 4 = 2(x + 3)
perché sottrarre -3 vuol dire aggiungere 3. Avere un segno più lì non è un errore; scrivere x - 3 lo è.
Sposta il punto della figura nel terzo quadrante e guarda i due segni che si invertono. È l'unica parte di questa forma che genera risposte sbagliate, e trenta secondi passati a guardarla la sistemano meglio di una regola.
Due punti, una retta
Dati (1, 1) e (4, 7): trova prima il coefficiente angolare, poi inserisci uno dei due punti.
m = (7 - 1)/(4 - 1) = 6/3 = 2
Con il primo punto ottieni y - 1 = 2(x - 1). Con il secondo ottieni y - 7 = 2(x - 4). Non si somigliano per niente e sono la stessa retta: sviluppa l'una o l'altra e arrivi a y = 2x - 1.
Vale la pena fidarsene invece di dubitarne. Se la tua risposta non coincide con quella del libro, riordinale entrambe prima di concludere di aver sbagliato.
Passare alla forma esplicita
Quando l'esercizio vuole davvero y = mx + b, la conversione sono due mosse: sviluppa la parentesi, poi isola la y.
Partendo da y - 3 = 2(x - 1): sviluppando ottieni y - 3 = 2x - 2, e aggiungendo 3 a entrambi i membri ottieni y = 2x + 1.
La b a cui non hai mai dovuto pensare salta fuori alla fine, ed è proprio questo il punto. Il lavoro l'ha fatto l'equazione per un punto; la forma esplicita è solo il formato.
Provane una
L'errore più comune qui è sviluppare 2(x - 1) come 2x - 1. Il 2 deve arrivare a entrambi i termini dentro la parentesi: è la proprietà distributiva che fa il suo solito lavoro.
Quale forma per quale domanda
| ti danno | usa |
|---|---|
| un punto e un coefficiente angolare | retta per un punto |
| due punti | coefficiente angolare dai due punti, poi retta per un punto |
| l'intersezione con l'asse y e un coefficiente angolare | forma esplicita |
| un'equazione da disegnare in fretta | forma esplicita |
| una retta parallela o perpendicolare a un'altra, passante per un punto | retta per un punto |
L'equazione per un punto è la forma per scrivere una retta; la forma esplicita è quella per leggerla. Quasi tutti i problemi le richiedono entrambe, in quest'ordine.
Domande frequenti
- Qual è l'equazione della retta passante per un punto?
- L'equazione y - y1 = m(x - x1), dove m è il coefficiente angolare e (x1, y1) è un qualsiasi punto per cui passa la retta. È una traduzione diretta della formula del coefficiente angolare: lo spostamento in verticale dal punto noto diviso lo spostamento in orizzontale dal punto noto vale sempre m, e moltiplicando entrambi i membri per lo spostamento in orizzontale la frazione sparisce.
- Quando conviene usarla invece della forma esplicita?
- Ogni volta che il punto che ti danno non è l'intersezione con l'asse y, cioè quasi sempre. La forma esplicita y = mx + b ha bisogno di b, quindi se parti da un punto qualsiasi devi prima ricavare b. Con l'equazione per un punto scrivi subito la risposta e la riordini dopo, sempre che l'esercizio lo chieda.
- Come trovo l'equazione della retta passante per due punti?
- Calcola prima il coefficiente angolare: la differenza delle y diviso la differenza delle x. Poi scegli uno dei due punti, davvero uno qualsiasi, perché danno la stessa retta, e inseriscilo nell'equazione della retta per un punto. Riordinare serve solo se l'esercizio chiede una forma precisa.
- Perché nell'equazione ci sono due sottrazioni?
- Perché sono entrambe differenze misurate dal punto noto: quanto ti sposti in orizzontale da x1 e quanto sali da y1. Quando una coordinata è negativa la sottrazione diventa un'addizione, ed è lì che si concentrano gli errori: un punto in (-3, 4) dà y - 4 = m(x + 3), e quel segno più è corretto.
- Conta quale dei due punti uso?
- No. Le due equazioni sembrano diverse e descrivono esattamente la stessa retta: riscrivile entrambe in forma esplicita e vengono identiche. Quasi tutti gli insegnanti accettano l'una o l'altra, ma se l'esercizio chiede una forma precisa, riordinare chiude la questione.
Vuoi provarlo con i tuoi numeri?
Risolutore di equazioni Apri la calcolatrice