Simboli insiemistici
La notazione degli insiemi è un piccolo alfabeto: le parentesi graffe elencano un insieme, ∈ dice che un elemento gli appartiene, ∪ unisce due insiemi, ∩ tiene la loro parte comune e un apice indica tutto il resto. Ogni simbolo è una regione di un diagramma di Venn.
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Un insieme è una raccolta di oggetti distinti, chiamati i suoi elementi. La notazione degli insiemi è la manciata di simboli che servono per elencare un insieme, dire cosa gli appartiene e combinare due insiemi in un terzo. Sono meno di una dozzina, e ognuno dà il nome a una regione di un diagramma di Venn.
Qui A sono i divisori di 12 e B i numeri pari, dentro l'insieme universo U = {1, 2, ..., 12}. Scegli un'operazione e guarda quale regione colora.
- U = {1, 2, ..., 12}
- numeri interi da 1 a 12
- A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
- divisori di 12
- B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
- numeri pari
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
Si legge A unione B
Tutto ciò che sta in A, in B o in entrambi.
8 elementi
I simboli
| simbolo | nome | si legge | esempio con gli insiemi qui sopra |
|---|---|---|---|
| { } | parentesi graffe | "l'insieme di" | A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} |
| ∈ | appartenenza | "appartiene a" | 6 ∈ A |
| ∉ | non appartenenza | "non appartiene a" | 5 ∉ A |
| ⊆ | sottoinsieme | "è sottoinsieme di" | {2, 4} ⊆ B |
| ∪ | unione | "A unione B" | A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} |
| ∩ | intersezione | "A intersezione B" | A ∩ B = {2, 4, 6, 12} |
| \ | differenza | "A meno B" | A \ B = {1, 3} |
| A′ | complementare | "complementare di A" o "non A" | A′ = {5, 7, 8, 9, 10, 11} |
| △ | differenza simmetrica | "A differenza simmetrica B" | A △ B = {1, 3, 8, 10} |
| ∅ | insieme vuoto | "l'insieme vuoto" | A ∩ {5, 7} = ∅ |
| U | insieme universo | "l'insieme universo" | tutto ciò di cui si sta parlando |
Ogni risposta dell'ultima colonna si può verificare nel diagramma qui sopra, e vale la pena farlo una volta a mano: elenca A e B, poi leggi ogni operazione sulle due liste.
Come si scrive un insieme
La rappresentazione per elencazione elenca gli elementi tra parentesi graffe: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Porta con sé due regole. L'ordine non conta, e nemmeno le ripetizioni, quindi {1, 2, 3}, {3, 2, 1} e {1, 1, 2, 3} sono lo stesso insieme.
La rappresentazione per caratteristica descrive invece gli elementi con una regola:
A = {x ∈ ℕ | 12/x ∈ ℕ}
Si legge "l'insieme dei numeri naturali x tali che 12 diviso x è anch'esso un numero naturale". La barra verticale significa "tale che"; alcuni libri usano invece i due punti. La rappresentazione per caratteristica è l'unico modo per scrivere un insieme con infiniti elementi, come {x ∈ ℝ | x > 3}, che la notazione degli intervalli abbrevia in (3, ∞).
Gli insiemi numerici hanno le loro lettere: ℕ per i numeri naturali, ℤ per gli interi, ℚ per i razionali e ℝ per i reali.
Combinare due insiemi
Quattro operazioni coprono quasi ogni domanda:
- Unione, A ∪ B: tutto ciò che sta in A o in B, o in entrambi. È la parola "o". Niente viene elencato due volte, quindi 2, 4, 6 e 12 compaiono una volta sola anche se stanno in entrambi gli insiemi.
- Intersezione, A ∩ B: solo ciò che sta in entrambi gli insiemi contemporaneamente. È la parola "e".
- Differenza, A \ B: ciò che sta in A ma non in B. L'ordine conta, perché B \ A = {8, 10} mentre A \ B = {1, 3}. Alcuni libri la scrivono con il segno meno.
- Complementare, A′: tutto ciò che sta nell'insieme universo ma non in A. Senza un insieme universo il complementare non è definito, ed è per questo che ogni diagramma di Venn ha un rettangolo attorno.
La differenza simmetrica, A △ B, è l'unione a cui togli l'intersezione: gli elementi che stanno in esattamente uno dei due insiemi.
Appartiene a, o è sottoinsieme di
Questi due sono i simboli che si confondono più spesso in tutto l'argomento, perché entrambi rispondono alla domanda "è lì dentro?".
- ∈ collega un elemento a un insieme: 2 ∈ A.
- ⊆ collega un insieme a un insieme: {2} ⊆ A.
Scrivere "2 ⊆ A" è sbagliato, perché 2 è un numero e non un insieme, e scrivere "{2} ∈ A" è sbagliato per il motivo opposto, perché A contiene il numero 2 e non l'insieme {2}.
Un insieme è sottoinsieme di un altro quando ogni suo elemento sta nell'altro. Basta che manchi un elemento per renderlo falso: A non è sottoinsieme di B, perché 1 sta in A ma non in B. L'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme, dato che non ha nessun elemento che possa mancare.
Contare con un diagramma di Venn
Il numero di elementi di un insieme si scrive tra barre verticali: |A| = 6. Per contare un'unione, somma i due insiemi e togli la parte comune, che è stata contata due volte:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Con gli insiemi di sopra, fa 6 + 6 meno 4, cioè 8, lo stesso risultato che ottieni contando direttamente l'unione. È il principio di inclusione ed esclusione, ed è così che si risponde a domande da sondaggio come "quanti studenti studiano francese o spagnolo".
La risposta è 18 + 12 meno 5, cioè 25. Se ti è venuto 30, hai contato due volte i 5 studenti che giocano a entrambi.
Insiemi e logica sono la stessa cosa
L'unione è "o", l'intersezione è "e" e il complementare è "non". Non è un'analogia approssimativa: un elemento sta in A ∩ B esattamente quando l'affermazione "sta in A e sta in B" è vera. La pagina sulla matematica discreta costruisce le tavole di verità di quelle parole, e lo stesso diagramma di Venn le colora entrambe.
Domande frequenti
- Cosa significa ∈?
- ∈ significa "appartiene a". 3 ∈ A dice che 3 è uno degli elementi dell'insieme A. Barrato, ∉ significa "non appartiene a", quindi 5 ∉ A dice che 5 non è in A. Il simbolo è una epsilon greca stilizzata, per la parola elemento.
- Che differenza c'è tra ∈ e ⊆?
- ∈ collega un elemento a un insieme, mentre ⊆ collega un insieme a un insieme. Se A = {1, 2, 3}, allora 2 ∈ A e {2} ⊆ A sono entrambe vere, ma 2 ⊆ A è sbagliata, perché 2 è un numero e non un insieme. Leggi ⊆ come "è sottoinsieme di": ogni elemento dell'insieme a sinistra sta anche nell'insieme a destra.
- Cos'è la rappresentazione per caratteristica?
- Un modo di descrivere un insieme con una regola invece che con un elenco. {x | x > 3} si legge "l'insieme di tutti gli x tali che x è maggiore di 3". La barra verticale, o i due punti in alcuni libri, significa "tale che". È l'unico modo pratico per scrivere un insieme con infiniti elementi.
- Che differenza c'è tra unione e intersezione?
- L'unione A ∪ B contiene tutto ciò che sta in A o in B o in entrambi. L'intersezione A ∩ B contiene solo ciò che sta in A e in B contemporaneamente. In un diagramma di Venn l'unione è l'insieme dei due cerchi e l'intersezione è la lente dove si sovrappongono, quindi l'intersezione sta sempre dentro l'unione.
- Come si scrive il complementare di un insieme?
- Quasi tutti i libri scrivono A′ (A primo), Aᶜ oppure A con una barra sopra. Tutte e tre le scritture significano la stessa cosa: ogni elemento dell'insieme universo U che non sta in A. Il complementare dipende da U, quindi controlla sempre qual è l'insieme universo prima di elencarlo.
- Cosa significa ∅?
- ∅ è l'insieme vuoto, l'insieme senza elementi. Si può scrivere anche {}. È sottoinsieme di ogni insieme, perché non ha nessun elemento che possa mancare in un altro insieme. Attenzione: {∅} non è vuoto, è un insieme con un elemento, e quell'elemento è l'insieme vuoto.
- Che differenza c'è tra ⊂ e ⊆?
- ⊆ significa "è sottoinsieme di" e ammette che i due insiemi siano uguali. ⊂ di solito indica un sottoinsieme proprio, cioè più piccolo dell'altro insieme. Qui i libri non sono d'accordo: alcuni usano ⊂ per qualsiasi sottoinsieme e scrivono ⊊ quando intendono proprio. Quando la cosa conta, controlla quale convenzione usa il tuo corso.
