Divisione tra frazioni
"Moltiplica per l'inversa" è una regola affidabile e una pessima spiegazione. Chiediti invece quante volte una frazione sta nell'altra, contalo su una barra, e il capovolgimento risulta l'unica cosa che poteva succedere.
Ultimo aggiornamento
Quasi a tutti insegnano la stessa regola, "moltiplica per l'inversa", e quasi a nessuno spiegano perché funziona. Peccato, perché il motivo è più semplice della regola e rende impossibile applicarla al contrario.
Parti da ciò che la divisione chiede davvero: quante volte questo sta in quello? Dodici diviso 3 fa 4 perché in 12 stanno quattro 3. Con le frazioni non cambia niente, e puoi contarle.
La divisione chiede quante volte la seconda frazione sta nella prima. Conta i pezzi numerati: quel numero è la risposta, ed è il motivo per cui la seconda frazione si capovolge.
Conta i pezzi, e compare il capovolgimento
La barra è un intero. La parte colorata chiara è la prima frazione, quella che stai dividendo. I blocchi numerati sono la seconda frazione, messa lungo la barra uno dopo l'altro, e i numeri sono il conteggio.
Con i valori iniziali stai chiedendo quanti ottavi stanno in tre quarti. Compaiono sei blocchi, quindi:
(3/4)/(1/8) = 6
Ora guarda che cosa è contare gli ottavi. In ogni intero ce ne sono 8, quindi chiedersi quanti ottavi contiene qualcosa significa chiedersi quante volte è più grande di un ottavo: e questo è moltiplicare per 8:
(3/4)/(1/8) = 3/4 * 8/1 = 24/4 = 6
Ecco il capovolgimento. Dividere per una frazione con 8 al denominatore vuol dire moltiplicare per 8, perché in ogni unità ce ne sono 8. Trasformare 1/8 in 8/1 non è un trucco applicato ai numeri; è la domanda riscritta.
La frazione capovolta ha un nome, il reciproco (o frazione inversa), e la regola completa è: dividere per una frazione è moltiplicare per il suo reciproco.
Si capovolge solo la seconda
Sposta i cursori in modo che la seconda frazione sia più grande della prima e il conteggio scende sotto 1: l'ultimo blocco è tratteggiato, perché ci sta solo in parte. Quel blocco parziale è il motivo per cui la risposta è una frazione e non un numero intero, ed è anche un buon controllo su quale frazione hai capovolto.
La divisione non è simmetrica, quindi l'ordine conta:
(3/4)/(1/2) = 3/4 * 2/1 = 3/2
(1/2)/(3/4) = 1/2 * 4/3 = 2/3
Stesse due frazioni, risultati diversi. Se capovolgi quella sbagliata ottieni il reciproco della risposta giusta, un errore che si nasconde bene: entrambe sembrano frazioni plausibili. Dire il calcolo ad alta voce risolve tutto: il numero per cui stai dividendo è quello che si capovolge.
Numeri interi, in entrambi i sensi
Un numero intero è una frazione su 1, quindi dividere per 5 vuol dire moltiplicare per 1/5:
(2/3)/5 = 2/3 * 1/5 = 2/15
ed è proprio ciò che dovrebbe dare dividere due terzi tra cinque persone: qualcosa di piccolo. Vale la pena fare anche l'altro senso:
6/(1/3) = 6 * 3/1 = 18
Diciotto terzi in sei interi. Ogni volta che il risultato di una divisione viene più grande del numero di partenza, controlla se hai diviso per qualcosa di minore di 1: se è così, un risultato più grande è corretto, non una svista.
Un numero misto diventa prima frazione impropria
2 + 1/2 diviso 3/4 non è "2 diviso qualcosa". Scrivi il numero misto come 5/2 e a quel punto non ha niente di speciale:
(5/2)/(3/4) = 5/2 * 4/3 = 20/6 = 10/3
Provane una
Se ti è venuto 8/27, hai capovolto la prima frazione invece della seconda. Se ti è venuto 2/3 per 4/9, non hai capovolto niente: il passaggio da divisione a moltiplicazione e il capovolgimento vanno sempre insieme.
Domande frequenti
- Come si dividono le frazioni?
- Capovolgi la seconda frazione e moltiplica. Quindi 3/4 diviso 1/8 diventa 3/4 x 8/1 = 24/4 = 6. La prima frazione resta esattamente com'è: si capovolge solo quella PER cui stai dividendo.
- Perché si capovolge la seconda frazione?
- Perché la divisione chiede quante volte la seconda frazione sta nella prima, e contare quanti ottavi stanno in qualcosa significa chiedersi quante volte è più grande di un ottavo: cioè moltiplicare per 8. Trasformare 1/8 in 8/1 è quella domanda messa per iscritto.
- Quale frazione si capovolge?
- La seconda, il divisore. Capovolgere la prima dà un risultato diverso, perché la divisione non è simmetrica: 3/4 diviso 1/2 fa 3/2, mentre 1/2 diviso 3/4 fa 2/3. Se hai dubbi su quale sia quale, di' il calcolo ad alta voce: il numero PER cui stai dividendo è quello che si capovolge.
- Perché a volte il risultato è più grande del numero di partenza?
- Perché dividere per un numero minore di 1 chiede quante cose piccole stanno in una più grande, e la risposta è: tante. 3/4 diviso 1/8 fa 6: in tre quarti stanno sei pezzi grandi un ottavo. La divisione rimpicciolisce le cose solo quando dividi per qualcosa di maggiore di 1.
- Come si divide una frazione per un numero intero?
- Scrivi il numero intero su 1 e capovolgilo, quindi dividere per 5 vuol dire moltiplicare per 1/5. Così 2/3 diviso 5 fa 2/3 x 1/5 = 2/15. Torna con il significato di dividere: due terzi divisi tra cinque persone danno a ognuna un pezzo piccolo.
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