Cos'è la retta di regressione?

Una retta tracciata attraverso un grafico a dispersione per riassumere l'andamento dei punti. In senso preciso è la retta dei minimi quadrati: tra tutte le rette possibili, quella i cui scarti verticali dai punti, elevati al quadrato e sommati, danno il totale più piccolo.

Come si trova la retta di regressione?

Trova la media di x e la media di y. La pendenza è la somma di (x meno la media di x) per (y meno la media di y), divisa per la somma di (x meno la media di x) al quadrato. L'intercetta è la media di y meno la pendenza per la media di x. Con x = 2, 4, 6, 8, 10 e y = 3, 7, 8, 12, 15 si ottiene una pendenza di 58/40 = 1.45 e un'intercetta di 9 meno 1.45 × 6 = 0.3, quindi y = 1.45x + 0.3.

La retta di regressione deve passare per l'origine?

No. Passa per il punto delle medie, non per l'origine. Costringerla a passare per (0, 0) è un modello diverso, usato solo quando c'è un motivo per cui y deve valere 0 quando x vale 0, e in genere si adatta peggio ai punti.

La retta di regressione deve passare per qualcuno dei punti?

No, e di solito non ne tocca nessuno. L'unico punto per cui passa sempre è (media di x, media di y), e spesso quel punto non è uno dei dati. Una retta tracciata per toccare più punti possibile non è la retta dei minimi quadrati.

Che differenza c'è tra interpolazione ed estrapolazione?

L'interpolazione è prevedere y per una x dentro l'intervallo dei dati, dove la retta ha punti da entrambi i lati a sostenerla. L'estrapolazione è prevedere fuori da quell'intervallo, dove niente nei dati dice che l'andamento continui. L'interpolazione in genere è affidabile quando l'adattamento è buono; l'estrapolazione può sbagliare di molto anche con r vicino a 1.

La retta di regressione è la stessa cosa della regressione lineare?

Sì, nel senso comune. La regressione lineare è il metodo, e la retta dei minimi quadrati che produce è la retta di regressione. A scuola si chiama così anche una retta tracciata a occhio su un grafico, ma quella è una stima della retta di regressione, non la retta stessa.

Retta di regressione

Attraverso qualsiasi nuvola di punti c'è esattamente una retta che li manca del meno possibile, misurato con i minimi quadrati. Trascina i punti e la retta si sposta per restare la migliore.

Di Nethanel Bar, Cofondatore e CEO

Ultimo aggiornamento 23 settembre 2026

Metti su un grafico dei dati reali e i punti si rifiutano di stare su una sola retta. Puoi comunque tracciare una retta attraverso la nuvola che ne colga l'andamento, e persone diverse con un righello ne tracceranno di leggermente diverse. La retta di regressione chiude la discussione: c'è una retta che è la migliore secondo una misura precisa, e una formula che la trova.

Trascina un punto qualsiasi qui sotto e la retta si sposta per restare la migliore. Porta un punto lontano dagli altri e nota con quanta forza attira la retta verso di sé.

y = x + 1pendenza1intercetta1

Trascina un punto qualsiasi e la retta si sposta per restare quella che si adatta meglio. I punti lontani dagli altri sono quelli che la tirano di più.

Cosa significa "migliore"

Una retta manca ogni punto di una distanza verticale: la y reale del punto meno la y che la retta prevede per quella x. Quella distanza è il residuo del punto. Una buona retta dovrebbe rendere piccoli i residui, ma non basta sommarli, perché gli scarti sopra la retta sono positivi, quelli sotto sono negativi e si annullano.

Quindi ogni residuo prima viene elevato al quadrato, così ogni scarto conta e uno scarto grande conta molto più di uno piccolo. La retta di regressione è la retta che rende la somma dei quadrati dei residui la più piccola possibile. Ecco perché si chiama retta dei minimi quadrati, e per qualsiasi insieme di punti i cui valori di x non siano tutti uguali ce n'è esattamente una.

Le due formule

Scrivi la retta come y = mx + b, con le medie dei dati indicate con x̄ e ȳ. Minimizzare la somma dei quadrati dà direttamente pendenza e intercetta:

m = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / Σ(x - x̄)²

b = ȳ - m x̄

Il numeratore della formula della pendenza è la stessa somma di prodotti che sta al numeratore del coefficiente di correlazione, ed è per questo che la pendenza e r hanno sempre lo stesso segno. Il denominatore riguarda solo x: misura quanto sono sparsi i valori di x.

Un esempio svolto

Cinque punti: x = 2, 4, 6, 8, 10 e y = 3, 7, 8, 12, 15. La media di x è 6 e la media di y è 9.

x	y	x - 6	y - 9	prodotto	(x - 6)²
2	3	-4	-6	24	16
4	7	-2	-2	4	4
6	8	0	-1	0	0
8	12	2	3	6	4
10	15	4	6	24	16
			totale	58	40

La pendenza è m = 58/40 = 29/20, cioè 1.45. Per l'intercetta, metti il punto delle medie nella retta e risolvi per b:

Quindi b = 3/10 e la retta di regressione è y = 1.45x + 0.3. Il calcolatore di regressione lineare fa lo stesso lavoro con la forma delle formule a somme progressive e mostra ogni somma.

Passa sempre per il punto delle medie

Riordina la formula dell'intercetta e ottieni ȳ = m x̄ + b. Questo dice che il punto (x̄, ȳ) sta esattamente sulla retta, qualunque siano i dati. Nell'esempio, 1.45 × 6 + 0.3 = 9.

È un controllo utile su qualsiasi retta calcoli, e un buon punto di partenza quando ne tracci una a occhio: segna prima il punto delle medie, poi ruota il righello attorno a lui finché i punti non sono in equilibrio da entrambi i lati.

Passare per il punto delle medie però non basta da solo. Per x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 il punto delle medie è (3, 4) e la retta dei minimi quadrati è y = 0.6x + 2.2, con una somma dei quadrati dei residui di 2.4. Le rette y = 0.5x + 2.5 e y = x + 1 passano anche loro per (3, 4), e le loro somme dei quadrati sono 2.5 e 4. Tra tutte le rette per quel punto, solo la pendenza 0.6 scende fino a 2.4.

Fare previsioni con la retta

Una volta che hai la retta, una previsione è una sostituzione. Con y = 1.45x + 0.3, una x di 7 dà 1.45 × 7 + 0.3 = 10.45.

Quella previsione è un'interpolazione: 7 sta dentro i dati, tra i punti in 6 e in 8, quindi ci sono prove da entrambi i lati che l'andamento lì regge. Una previsione fuori dall'intervallo dei dati è un'estrapolazione, e niente nei dati la sostiene.

Un caso concreto. Sei studenti hanno studiato da 1 a 6 ore e hanno preso 52, 58, 61, 67, 70 e 76. La retta di regressione è y = 162/35x + 47.8, una pendenza di circa 4.63 punti all'ora, con r ≈ 0.9959. Dentro i dati prevede bene: 4.5 ore danno circa 68.63. Estrapola a 12 ore e prevede circa 103.34, in una verifica con punteggio massimo 100. La retta va bene; è l'andamento che descrive a fermarsi da qualche parte oltre i dati, e la retta non può sapere dove.

Quando una retta è la forma sbagliata

Una retta di regressione esiste sempre, anche quando una retta è il modello sbagliato. I quadrati 0, 1, 4, 9, 16, 25 per x da 0 a 5 hanno una retta di regressione y = 5x - 10/3 con r ≈ 0.9599, che sembra ottimo, eppure i punti stanno su una curva. I residui lo rivelano: positivi a entrambe le estremità e negativi nel mezzo. La pagina sui residui spiega come leggere questo schema, e il calcolatore di regressione quadratica adatta invece la curva.

Provane uno

Il punto reale in x = 4 è (4, 7), quindi la retta lo manca di 0.9. Quello scarto è il residuo del punto, e la somma dei cinque scarti al quadrato, 1.9, è la più piccola che una retta qualsiasi possa ottenere con questi punti.

Domande frequenti

Cos'è la retta di regressione?: Una retta tracciata attraverso un grafico a dispersione per riassumere l'andamento dei punti. In senso preciso è la retta dei minimi quadrati: tra tutte le rette possibili, quella i cui scarti verticali dai punti, elevati al quadrato e sommati, danno il totale più piccolo.
Come si trova la retta di regressione?: Trova la media di x e la media di y. La pendenza è la somma di (x meno la media di x) per (y meno la media di y), divisa per la somma di (x meno la media di x) al quadrato. L'intercetta è la media di y meno la pendenza per la media di x. Con x = 2, 4, 6, 8, 10 e y = 3, 7, 8, 12, 15 si ottiene una pendenza di 58/40 = 1.45 e un'intercetta di 9 meno 1.45 × 6 = 0.3, quindi y = 1.45x + 0.3.
La retta di regressione deve passare per l'origine?: No. Passa per il punto delle medie, non per l'origine. Costringerla a passare per (0, 0) è un modello diverso, usato solo quando c'è un motivo per cui y deve valere 0 quando x vale 0, e in genere si adatta peggio ai punti.
La retta di regressione deve passare per qualcuno dei punti?: No, e di solito non ne tocca nessuno. L'unico punto per cui passa sempre è (media di x, media di y), e spesso quel punto non è uno dei dati. Una retta tracciata per toccare più punti possibile non è la retta dei minimi quadrati.
Che differenza c'è tra interpolazione ed estrapolazione?: L'interpolazione è prevedere y per una x dentro l'intervallo dei dati, dove la retta ha punti da entrambi i lati a sostenerla. L'estrapolazione è prevedere fuori da quell'intervallo, dove niente nei dati dice che l'andamento continui. L'interpolazione in genere è affidabile quando l'adattamento è buono; l'estrapolazione può sbagliare di molto anche con r vicino a 1.
La retta di regressione è la stessa cosa della regressione lineare?: Sì, nel senso comune. La regressione lineare è il metodo, e la retta dei minimi quadrati che produce è la retta di regressione. A scuola si chiama così anche una retta tracciata a occhio su un grafico, ma quella è una stima della retta di regressione, non la retta stessa.