Moltiplicazione tra frazioni
Moltiplicare le frazioni è la più facile delle quattro operazioni, eppure viene insegnata come quella che confonde, perché la regola arriva senza nessun motivo. Il motivo è un quadrato tagliato in due direzioni.
Ultimo aggiornamento
Delle quattro cose che puoi fare con una coppia di frazioni, la moltiplicazione è di gran lunga la più facile: moltiplichi i numeratori, moltiplichi i denominatori, fatto. Niente denominatore comune, niente capovolgimenti, niente riordini.
Il che solleva la domanda che la maggior parte delle pagine salta. La somma di frazioni pretende che i denominatori coincidano. Perché la moltiplicazione no?
I due tagli vanno in direzioni diverse, quindi non devono mai combaciare: per questo moltiplicare non richiede un denominatore comune. La risposta è la parte sovrapposta.
La risposta è la parte sovrapposta
Il quadrato è un intero. La prima frazione lo taglia in colonne e ne colora alcune; la seconda lo taglia in righe e ne colora alcune. Il rettangolo con il colore più intenso è dove le due colorazioni si sovrappongono, e quel rettangolo è la risposta.
Con 3/4 e 2/3 il quadrato è tagliato in 4 colonne e 3 righe, il che fa 12 cellette. La parte sovrapposta copre 3 colonne per 2 righe, quindi 6 cellette. Sei su dodici:
3/4 * 2/3 = (3*2)/(4*3) = 6/12 = 1/2
I due numeratori si sono moltiplicati perché la sovrapposizione è larga tante cellette e alta tante cellette. I due denominatori si sono moltiplicati perché tutto il quadrato è stato tagliato in tante cellette in totale. Non poteva succedere nient'altro.
E ora la domanda sul denominatore comune si risponde da sola. I due tagli vanno in direzioni diverse, quindi non devono mai combaciare. La somma ha bisogno di pezzi uguali perché stai contando pezzi insieme; qui non stai contando niente insieme, stai prendendo una parte di una parte.
Significa la parola "di"
Leggi il segno per come di e la moltiplicazione tra frazioni non ha più bisogno di essere ricordata:
- la metà di una metà è un quarto: 1/2 * 1/2 = 1/4
- i due terzi di tre quarti sono una metà: 2/3 * 3/4 = 1/2
- un terzo di 60 è 20: 1/3 * 60 = 20
È anche il motivo per cui un problema come "i tre quinti della classe di 30" è una moltiplicazione e non qualcosa di più complicato.
Una conseguenza coglie molti di sorpresa. Moltiplicare per una frazione minore di 1 rimpicciolisce, perché ne stai prendendo una parte. 3/4 * 8 = 6, e 6 è meno di 8. Non è un errore; è ciò che significa "tre quarti di".
Numeri interi e numeri misti
Un numero intero è una frazione con 1 al denominatore, e una volta scritto così vale la stessa regola:
4/5 * 10 = 4/5 * 10/1 = 40/5 = 8
Un numero misto deve prima diventare una frazione impropria, perché non c'è modo di moltiplicare separatamente la parte intera e la parte frazionaria e ottenere la risposta giusta. 2 + 1/2 è 5/2, quindi
5/2 * 2/3 = 10/6 = 5/3
Se ti viene la tentazione di moltiplicare il 2 per il 2 e poi i mezzi per i terzi, provalo con 2 e 1/2 per 2 e 1/2: la risposta onesta è 6 e 1/4, la scorciatoia dà 4 e 1/4.
Semplifica prima, e i numeri restano piccoli
Dato che tutto il prodotto è un'unica frazione, qualsiasi numeratore si può semplificare con qualsiasi denominatore prima di moltiplicare. Prendi 3/4 * 8/9:
- il 3 e il 9 hanno in comune il fattore 3, e restano 1 e 3
- il 4 e l'8 hanno in comune il fattore 4, e restano 1 e 2
e rimane 1/1 * 2/3 = 2/3: la risposta giusta, senza mai scrivere 72. Moltiplicando prima si ottiene 24/36, che si riduce allo stesso 2/3 con un po' più di lavoro. Semplificare prima non è un metodo diverso, solo meno calcoli.
Provane una
Se ti è venuto 10/12, è la quantità giusta scritta nella forma sbagliata: semplificala. Se hai cercato un denominatore comune, quel passaggio appartiene alla somma, e questa pagina è il motivo per cui qui si può saltare.
Domande frequenti
- Come si moltiplicano le frazioni?
- Moltiplica tra loro i due numeratori e i due denominatori, poi semplifica. Quindi 3/4 x 2/3 = 6/12, cioè 1/2. Non c'è nessun passaggio al denominatore comune e niente da capovolgere: quelle cose appartengono alla somma e alla divisione.
- Perché per moltiplicare non serve il denominatore comune?
- Perché le due frazioni tagliano l'intero in direzioni diverse. La somma ha bisogno di pezzi della stessa misura per poterli contare insieme; la moltiplicazione prende una frazione DI una frazione, quindi un taglio attraversa l'altro e non devono mai combaciare. Nel quadrato qui sopra, una frazione taglia le colonne e l'altra le righe.
- Cosa significa davvero moltiplicare le frazioni?
- Significa "di". La metà di una metà è un quarto, ed è esattamente ciò che dice 1/2 x 1/2 = 1/4. Leggere il segno per come la parola "di" trasforma la maggior parte dei problemi in un calcolo ovvio: i due terzi di 3/4 sono 2/3 x 3/4.
- Come si moltiplica una frazione per un numero intero?
- Scrivi il numero intero su 1 e procedi come al solito. 4/5 x 10 diventa 4/5 x 10/1 = 40/5 = 8. Vale la pena notare che il risultato è cresciuto, perché moltiplicare per un numero maggiore di 1 ingrandisce sempre, mentre moltiplicare per una frazione minore di 1 rimpicciolisce sempre.
- Posso semplificare prima di moltiplicare?
- Sì, e di solito è più facile. Qualsiasi numeratore si può semplificare con qualsiasi denominatore prima di moltiplicare, perché tutto il prodotto è un'unica grande frazione. In 3/4 x 8/9 il 3 e il 9 hanno in comune il fattore 3 e il 4 e l'8 il fattore 4, e resta 1/1 x 2/3 = 2/3 senza mai scrivere numeri grandi.
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