SOHCAHTOA
Opposto e adiacente non sono proprietà di un lato. Sono proprietà di un lato rispetto a un angolo, e quasi ogni errore con SOHCAHTOA nasce da questa frase non ancora assimilata.
Ultimo aggiornamento
SOHCAHTOA è un buon trucco mnemonico per una cosa che di solito si sa già a metà, e non fa niente contro quello che va storto davvero. L'errore non sta quasi mai nelle lettere. Sta nel trattare "opposto" e "adiacente" come etichette dipinte sul triangolo, quando dipendono interamente dall'angolo in cui ti trovi.
Modifica il triangolo qui sotto, poi sposta l'angolo evidenziato da A a B e guarda le etichette che si scambiano senza che si muova una sola linea.
Cambia l'angolo segnato. Il triangolo non si muove, ma opposto e adiacente si scambiano i ruoli: per questo quelle due parole hanno sempre bisogno di un angolo accanto.
Dai i nomi ai lati partendo dall'angolo, non dalla pagina
L'ipotenusa è la facile: sempre il lato più lungo, sempre quello di fronte all'angolo retto, e non cambia mai, qualunque sia l'angolo acuto da cui parti.
Gli altri due invece cambiano:
- il cateto opposto è quello che non tocca il tuo angolo;
- il cateto adiacente è quello che lo tocca.
Questa è tutta la regola dei nomi, ed è per questo che la figura ha un interruttore A/B. In un triangolo 3-4-5, il lato lungo 4 è opposto a un angolo e adiacente all'altro. Chiedersi se il 4 "è l'opposto" è una domanda senza risposta finché non si nomina un angolo.
I tre rapporti
Con i lati nominati, il trucco mnemonico finalmente significa qualcosa (le lettere vengono dalle parole inglesi):
| rapporto | è | trucco |
|---|---|---|
| seno | opposto su ipotenusa | SOH |
| coseno | adiacente su ipotenusa | CAH |
| tangente | opposto su adiacente | TOA |
Due di loro usano l'ipotenusa; la tangente fa eccezione e non la usa. Spesso è il modo più veloce per scegliere: se l'ipotenusa non compare da nessuna parte nel problema, ti serve la tangente.
Perché la grandezza non conta
Ecco il fatto che rende possibile la trigonometria stessa. Raddoppia ogni lato di un triangolo rettangolo e gli angoli non cambiano, e nemmeno i rapporti, perché il raddoppio si semplifica:
(2*3)/(2*5) = 3/5
Quindi il seno di un angolo è una proprietà dell'angolo, non di un triangolo in particolare. È questo che permette di avere una tavola dei seni, ed è il motivo per cui una calcolatrice può rispondere senza sapere quanto è grande qualcosa.
Muovi i due cursori nella figura mantenendo lo stesso rapporto tra loro, prima 3 e 4, poi 6 e 8, e guarda i tre valori che restano fermi.
Scegliere il rapporto giusto
Il metodo è sempre lo stesso, in tre passi.
- Segna il tuo angolo, poi dai i nomi ai tre lati partendo da lui.
- Guarda quali due lati cita il problema: uno che conosci, uno che cerchi.
- Scegli il rapporto costruito con quei due.
Una scala lunga 10 metri è appoggiata con un'inclinazione di 65° rispetto al suolo; a che altezza arriva? La scala è l'ipotenusa, l'altezza è opposta all'angolo, quindi opposto e ipotenusa vuol dire seno: sin(65°) = h/10, e h = 10sin(65°).
In questo ragionamento non c'è nessuna formula per le scale da ricordare.
Provane uno
Un triangolo rettangolo ha i cateti di 6 e 8, quindi la sua ipotenusa è 10. Quanto vale il seno dell'angolo opposto al lato lungo 6?
Se hai risposto 6/8, hai scambiato l'ipotenusa con un cateto, che è proprio l'errore che la parola "ipotenusa" esiste per evitare.
Dove si va da qui
Due direzioni. Alcuni angoli danno rapporti esatti senza nessuna calcolatrice, quelli dei triangoli 30-60-90 e 45-45-90, e conviene saperli a memoria. Oltre a questo, la circonferenza goniometrica prende gli stessi tre rapporti e li libera del tutto dal triangolo, così continuano ad avere senso oltre i 90 gradi.
Domande frequenti
- Cosa significa SOHCAHTOA?
- Viene dall'inglese: Sine è Opposite su Hypotenuse, Cosine è Adjacent su Hypotenuse, Tangent è Opposite su Adjacent. In italiano: il seno è cateto opposto su ipotenusa, il coseno è cateto adiacente su ipotenusa, la tangente è cateto opposto su cateto adiacente. È un aiuto per ricordare i tre rapporti in un triangolo rettangolo, e funziona solo quando sai quale lato conta come opposto e quale come adiacente, cosa che dipende dall'angolo da cui parti.
- Qual è il cateto opposto e quale l'adiacente?
- Scegli prima il tuo angolo. L'ipotenusa è sempre il lato più lungo, quello di fronte all'angolo retto, e non cambia mai. Dei due lati rimasti, quello che non tocca il tuo angolo è l'opposto; quello che lo tocca è l'adiacente. Passa all'altro angolo acuto e quei due si scambiano.
- Come capisco se usare seno, coseno o tangente?
- Assegna i nomi ai tre lati rispetto al tuo angolo, poi guarda quali due compaiono nel problema. Se si parla di opposto e ipotenusa, è il seno; di adiacente e ipotenusa, il coseno; dei due cateti senza ipotenusa in vista, la tangente. La scelta del rapporto dipende da cosa hai e da cosa cerchi, non dalla forma del triangolo.
- Perché il rapporto non cambia quando il triangolo diventa più grande?
- Perché ingrandire un triangolo moltiplica ogni lato per lo stesso fattore, quindi qualsiasi rapporto tra due lati resta uguale: il fattore si semplifica sopra e sotto. Due triangoli rettangoli con gli stessi angoli sono simili, quindi il seno di 30 gradi è lo stesso numero in un triangolo grande come una moneta e in uno grande come un campo.
- SOHCAHTOA funziona sui triangoli senza angolo retto?
- No. Tutti e tre i rapporti sono definiti a partire da un triangolo rettangolo, quindi un triangolo senza angolo retto richiede altri strumenti: il teorema dei seni o il teorema del coseno. Un trucco comune è tracciare un'altezza e dividere il triangolo in due triangoli rettangoli, che è proprio il modo in cui si dimostrano entrambi i teoremi.
