Cos'è la proprietà distributiva?

Dice che moltiplicare una somma dà lo stesso risultato che moltiplicare ogni parte e poi sommare: a(b + c) = ab + ac. È ciò che ti permette di togliere le parentesi in algebra, ed è il motivo per cui puoi calcolare 7 × 23 a mente come 7 × 20 più 7 × 3.

Perché a(b + c) = ab + ac è vero?

Perché entrambi i lati sono l'area dello stesso rettangolo. Un rettangolo alto a e largo (b + c) ha area a(b + c). Taglialo con una linea verticale in un pezzo largo b e uno largo c e le due aree sono ab e ac. Tagliare una figura non cambia quanta ce n'è, quindi le due espressioni devono essere uguali.

Come funziona con il segno meno?

Il segno passa su ogni termine dentro le parentesi. Quindi -2(x + 3) fa -2x - 6, non -2x + 6: entrambi i termini vengono moltiplicati per -2. È l'errore più comune in assoluto con le parentesi, e vale la pena controllarlo ogni volta chiedendoti cosa succede se sostituisci un numero.

Che differenza c'è tra distribuire e raccogliere a fattor comune?

Sono la stessa regola usata in direzioni opposte. Distribuire va da a(b + c) ad ab + ac, e toglie le parentesi. Raccogliere va da ab + ac di nuovo ad a(b + c), e le rimette. Poter usare la regola al contrario è ciò che rende possibile il raccoglimento.

Il metodo FOIL è la proprietà distributiva?

Sì: il FOIL è solo la proprietà distributiva applicata due volte. Per sviluppare (x + 2)(x + 3) distribuisci tutta la prima parentesi sulla seconda, poi distribuisci di nuovo dentro ogni parte. Il FOIL è un promemoria per i quattro prodotti che ne escono; non è una regola a parte, ed è per questo che smette di funzionare quando una parentesi ha tre termini, mentre la distributiva funziona ancora.

La proprietà distributiva

Di solito a(b + c) = ab + ac viene enunciata e poi ripetuta fino alla noia. È più facile ricordarla dopo averla vista, perché è un'immagine: un rettangolo, tagliato in due.

Di Nethanel Bar, Cofondatore e CEO

Ultimo aggiornamento 25 agosto 2026

Quasi sicuramente hai già usato la proprietà distributiva senza che nessuno te ne dicesse il nome. Se devono calcolare 7 × 23, quasi tutti fanno 7 × 20 = 140, poi 7 × 3 = 21, poi sommano e ottengono 161. Questo è 7(20 + 3) = 7*20 + 7*3: la regola, applicata all'aritmetica.

In algebra fa lo stesso lavoro con le lettere, ed è il motivo per cui le parentesi si possono togliere. Ecco perché è vera.

3(4 + 2) = 3*4 + 3*2 = 18

Tagliare il rettangolo non cambia la sua area. Tutta la proprietà distributiva è qui.

È un rettangolo, tagliato

Metti i cursori su a = 3, b = 4, c = 2 e guarda la figura.

Il rettangolo intero è alto 3 e largo 4 + 2 = 6, quindi la sua area è 3(4 + 2) = 18. Il taglio verticale lo divide in un pezzo 3 per 4 e un pezzo 3 per 2, con aree 3*4 = 12 e 3*2 = 6, e 12 + 6 fa 18.

Questa è tutta la dimostrazione. Tagliare un rettangolo non cambia la sua area, quindi l'espressione unica e quella in due parti devono essere uguali, qualunque siano i numeri. Sposta tutti e tre i cursori e i due totali non sono mai in disaccordo.

Scritta in generale: a(b + c) = a*b + a*c.

Vale la pena notare le etichette di larghezza e altezza, perché dicono quale numero fa cosa. La a sta fuori dalle parentesi e moltiplica entrambi i pezzi, dato che entrambi i pezzi sono alti a. Niente dentro le parentesi moltiplica qualcos'altro.

Il caso negativo, dove si scivola

Ora trascina c sotto lo zero.

Il secondo rettangolo cambia colore e si sposta dentro il primo, perché una larghezza negativa vuol dire che quel pezzo viene tolto. Con a = 3, b = 4 e c = -2, il totale è 3(4 - 2) = 6, e i due pezzi sono 3*4 = 12 e meno 3*2 = 6. Dodici meno sei.

Quindi il segno meno passa sul secondo termine:

a(b - c) = a*b - a*c

È questo l'errore da cui difendersi. Scrivere -2(x + 3) come -2x + 6 è sbagliato; il -2 moltiplica entrambi i termini, e dà -2x - 6. Se hai un dubbio, sostituisci un numero: con x = 1 l'originale fa -2(1 + 3) = -8, e solo -2x - 6 dà -8.

Usarla per risolvere qualcosa

Togliere le parentesi raramente è lo scopo in sé: è un passo per isolare una lettera. Eccola dentro un'equazione:

Da notare: il percorso qui sopra non ha sviluppato affatto le parentesi, perché con 27 divisibile per 3 era più veloce dividere prima entrambi i membri. Distribuire è uno strumento, non un obbligo: sviluppare fino a 3x + 12 = 27 porta allo stesso x = 5 per una strada più lunga.

Al contrario

Leggi a*b + a*c = a(b + c) da destra a sinistra e hai il raccoglimento a fattor comune: individuare un fattore comune a tutti i termini e portarlo davanti. 6x + 9 diventa 3(2x + 3) perché entrambi i termini sono divisibili per 3.

È la stessa immagine, guardata dall'altra parte: invece di tagliare un rettangolo, noti che due rettangoli hanno la stessa altezza e si possono accostare.

Provane una

Questa ha il negativo fuori apposta. Se ti viene -1, il segno meno non è arrivato al 3.

Domande frequenti

Cos'è la proprietà distributiva?: Dice che moltiplicare una somma dà lo stesso risultato che moltiplicare ogni parte e poi sommare: a(b + c) = ab + ac. È ciò che ti permette di togliere le parentesi in algebra, ed è il motivo per cui puoi calcolare 7 × 23 a mente come 7 × 20 più 7 × 3.
Perché a(b + c) = ab + ac è vero?: Perché entrambi i lati sono l'area dello stesso rettangolo. Un rettangolo alto a e largo (b + c) ha area a(b + c). Taglialo con una linea verticale in un pezzo largo b e uno largo c e le due aree sono ab e ac. Tagliare una figura non cambia quanta ce n'è, quindi le due espressioni devono essere uguali.
Come funziona con il segno meno?: Il segno passa su ogni termine dentro le parentesi. Quindi -2(x + 3) fa -2x - 6, non -2x + 6: entrambi i termini vengono moltiplicati per -2. È l'errore più comune in assoluto con le parentesi, e vale la pena controllarlo ogni volta chiedendoti cosa succede se sostituisci un numero.
Che differenza c'è tra distribuire e raccogliere a fattor comune?: Sono la stessa regola usata in direzioni opposte. Distribuire va da a(b + c) ad ab + ac, e toglie le parentesi. Raccogliere va da ab + ac di nuovo ad a(b + c), e le rimette. Poter usare la regola al contrario è ciò che rende possibile il raccoglimento.
Il metodo FOIL è la proprietà distributiva?: Sì: il FOIL è solo la proprietà distributiva applicata due volte. Per sviluppare (x + 2)(x + 3) distribuisci tutta la prima parentesi sulla seconda, poi distribuisci di nuovo dentro ogni parte. Il FOIL è un promemoria per i quattro prodotti che ne escono; non è una regola a parte, ed è per questo che smette di funzionare quando una parentesi ha tre termini, mentre la distributiva funziona ancora.