Notazione delle funzioni
L'unico errore di lettura che fa deragliare tutto l'argomento è leggere f(x) come f per x. Una macchina con una fessura non si può moltiplicare per niente, ed è per questo che l'immagine funziona meglio della spiegazione.
Ultimo aggiornamento
Quasi tutti, la prima volta che vedono f(x), lo leggono come f per x. Non è distrazione: in ogni altro punto dell'algebra, due cose scritte una accanto all'altra vengono moltiplicate. 2x lo è. a(b+c) lo è.
Quindi la soluzione non è un avvertimento. È un'immagine diversa: una macchina in cui fai cadere un numero.
Nota le parentesi attorno all'input. f(x) non è f per x: è il nome della macchina seguito da ciò che ci hai messo dentro.
Il nome, poi ciò che le hai dato
Leggi f(3) ad alta voce come "f di 3", non "f tre". La f è il nome della macchina e le parentesi contengono ciò che è entrato. Non si moltiplica niente, perché una macchina non è una quantità.
Con questa immagine in testa, la notazione si guadagna il suo posto. Registra due informazioni in un solo simbolo, cosa è entrato e cosa è uscito, cosa che la semplice y non può fare. Scrivere y = 7 ti dice un output; scrivere f(2) = 7 ti dice l'output e l'input che l'ha prodotto.
Permette anche a più funzioni di stare sulla stessa pagina senza scontrarsi. Se ci sono sia f che g, f(2) e g(2) non sono ambigui, mentre due y lo sarebbero.
Calcolare: sostituisci, tra parentesi
Per calcolare f(3), sostituisci ogni x della regola con 3, e mettilo tra parentesi mentre lo fai.
Con f(x) = 2x + 1:
f(3) = 2(3) + 1 = 7
Con un numero positivo le parentesi sembrano pignole. Smettono di esserlo appena l'input è negativo:
f(-2) = 2(-2) + 1 = -3
Senza parentesi scrivi 2 - 2 + 1 e ottieni 1, che non è la risposta a niente. Quest'unica abitudine elimina gran parte degli errori di segno in questo argomento.
E l'input non deve per forza essere un numero. Dare alla macchina a + 1 dà f(a+1) = 2(a+1) + 1 = 2a + 3: la stessa sostituzione, fatta con un blocco invece che con una cifra.
Ogni valore è un punto
Dai alla macchina qualche input e scrivi le coppie:
| x | f(x) | come punto |
|---|---|---|
| -2 | -3 | (-2, -3) |
| 0 | 1 | (0, 1) |
| 3 | 7 | (3, 7) |
Quelle coppie sono coordinate, quindi gli output di una funzione sono un'immagine.
Ecco perché f(x) = 2x + 1 e y = 2x + 1 disegnano la stessa retta. Sono la stessa regola; la notazione delle funzioni tiene solo attaccato il nome dell'input.
f(7) e f(x) = 7 sono domande opposte
È la distinzione su cui vale la pena rallentare.
f(7) dà un 7 alla macchina e chiede cosa esce. È una sostituzione, e richiede una riga.
f(x) = 7 dice che è uscito 7 e chiede cosa è entrato. È un'equazione da risolvere:
Quindi f(4) = 9. Andare avanti è aritmetica; tornare indietro è algebra, e la notazione è quasi identica in entrambi i casi: proprio per questo vale la pena dare un nome alla differenza, una volta.
Provane uno
Se f(x) = 2x + 1, quanto vale f(-4)?
Se ti è venuto -3 o 9, guarda le parentesi: l'input va moltiplicato per il 2, non sommato né sottratto.
Due parole che incontrerai presto
L'insieme degli input che una macchina accetta è il suo dominio; l'insieme degli output che può produrre è la sua immagine. Di solito si scrivono entrambi con la notazione degli intervalli, e sono entrambi domande sulla macchina, non su un singolo numero che ci fai passare.
Domande frequenti
Cosa significa f(x)?
È l'output della funzione chiamata f quando le dai x. La f è un nome, come l'etichetta su una macchina, e le parentesi contengono ciò che ci metti dentro. Non è f moltiplicato per x: qui le parentesi significano 'applicata a', non 'per'.
Come si calcola f(3)?
Sostituisci ogni x della regola con 3, tra parentesi, poi fai il calcolo. Se f(x) = 2x + 1 allora f(3) = 2(3) + 1 = 7. Tenere le parentesi attorno al numero è ciò che evita errori con un input negativo: f(-2) = 2(-2) + 1 = -3, mentre togliere le parentesi porta a scrivere 2 - 2 + 1.
Perché scrivere f(x) invece di y?
Perché dice quale input ha prodotto l'output. Con y puoi scrivere y = 5 ma non che il 5 viene da x = 2; con la notazione delle funzioni, f(2) = 5 porta entrambe le informazioni in un solo simbolo. Permette anche a più funzioni di stare sulla stessa pagina, f, g e h, senza confondere i loro output.
Che differenza c'è tra f(x) = 7 e f(7)?
Sono domande opposte. f(7) dà un 7 alla macchina e chiede cosa esce. f(x) = 7 dice che è uscito 7 e chiede cosa è entrato: e questo vuol dire risolvere un'equazione invece di sostituire. Confondere le due cose è il secondo errore più comune in questo argomento.
Posso usare lettere diverse da f e x?
Sì, e ti capiterà. f, g e h sono le lettere convenzionali per le funzioni e x per l'input, ma niente dipende dalle lettere: g(t) = 3t indica una funzione g con input t e si comporta allo stesso identico modo. Nei problemi applicati si scelgono di solito lettere che significano qualcosa, come h(t) per un'altezza dopo t secondi.
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