最简单的情况：2⁵
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2^5五个 2 相乘：2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32。只有在这种情况下，指数才真正表示因数的个数。值得完整写一遍，这样下面几种情况就能看作是从它出发的变化。
指数计算器
计算幂并写出所用法则，包括负指数和分数指数。
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指数表示因数的个数，直到它不再是个数
指数是整数时，没什么好解释的：2⁵ 表示五个 2 相乘，结果是 32。有意思的是指数不再表示因数个数的情况，一共有三种：零、负数和分数。每种情况背后都有一条法则，而每条法则都来自同一个事实：同底数的幂相乘，指数相加。
零：2³ ÷ 2³ 等于 1，而指数相减得到 2⁰，所以 2⁰ 一定是 1，对除 0 以外的每个底数都成立。负数：2³ ÷ 2⁵ 等于 1/4，指数相减得到 2⁻²，所以负指数表示倒数，结果永远不会是负数。分数：2^(1/2) 乘以 2^(1/2) 等于 2¹，所以 2^(1/2) 就是平方后等于 2 的那个数，也就是平方根。
这里的一切都是精确的。2⁻³ 是 1/8 而不是 0.125，(2/3)³ 是 8/27，9^(1/2) 正好是 3，8^(1/2) 保持为 2√2，而不会变成 2.828。只要存在小数形式，就会写在精确答案旁边；如果是近似值，也会标明。
需要注意的地方
- 负指数得到的是倒数，而不是负数。2⁻³ 是 1/8，是正数；只有底数为负，答案才可能是负的。
- 指数为零时，除了零以外的任何底数结果都是 1。0⁰ 没有公认的值，而 0 的负数次幂会导致除以零。
- 分数指数就是开方：分母表示开几次方，分子表示乘方。8^(2/3) 是 8 的立方根再平方，结果是 4。
- 分数的乘方要对分子和分母同时乘方。(2/3)³ 是 8/27，分母也要立方，这正是最常被漏掉的一步。
- 负底数的符号只由指数决定：偶数次幂让负号两两抵消，答案为正；奇数次幂会剩下一个负号。
- 括号决定一切。(−2)⁴ 是 16，而 −2⁴ 是 −16，因为没有括号时，乘方比负号优先。
怎样计算乘方
先看指数的正负
如果是负数，就写成倒数，把指数变成正的：2⁻³ 变成 1/2³。先做这一步，就能避免答出 −8 这个经典错误。
看它是不是分数
分数指数就是开方。分母决定开几次方，分子是乘方：x^(m/n) 是 x^m 的 n 次方根。
处理分数底数
分子和分母分别乘方。(2/3)³ 是 2³ 比 3³，即 8/27。
把剩下的乘出来
整数指数现在就是重复相乘。注意符号：奇数个负因数相乘，答案为负。
如果有倒数，最后取倒数
把刚才算出的结果取倒数。1/2³ 是 1/8；再检查一下答案是否小于 1，底数大于 1 时，负指数的结果总是这样。
各种乘方及其背后的法则
不只是重复相乘的四种情况，以及只是重复相乘的情况，放在一起对照。
| 乘方 | 法则 | 精确答案 | 小数形式 |
|---|---|---|---|
| 2⁵ | 重复相乘 | 32 | 32 |
| 2⁰ | 除 0 以外，任何数的 0 次幂都是 1 | 1 | 1 |
| 2⁻³ | 负指数表示倒数 | 1/8 | 0.125 |
| (2/3)³ | 分子分母同时乘方 | 8/27 | 0.296… |
| 9^(1/2) | 分数指数表示开方 | 3 | 3 |
| 8^(1/2) | 根式化简，不取近似值 | 2√2 | 2.828… |
| (−2)⁴ | 偶数次幂，负号两两抵消 | 16 | 16 |
| (−2)³ | 奇数次幂，剩下一个负号 | −8 | −8 |
例题详解
负指数：2⁻³
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2^-3不是 −8。负指数表示倒数：2⁻³ 是 1/2³ = 1/8。原因在于除法：2² ÷ 2⁵ 等于 1/8，而指数相减得到 2⁻³，所以两者一定相等。答案是正数，而且小于 1。
分数作底数：(2/3)³
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(2/3)^3分子和分母都要立方：2³ 比 3³，即 8/27。只对分子立方是非常常见的失误，会得到 8/3，大了 8 倍还多。它的小数形式是 0.296…，永远不会结束，所以分数才是如实的答案。
分数指数：9^(1/2)
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9^1/21/2 次幂就是平方根，所以结果是 √9 = 3（精确值）。原因是：9^(1/2) 乘以 9^(1/2)，指数相加得到 9¹，所以 9^(1/2) 一定是平方后等于 9 的那个数。
开不尽的情况：8^(1/2)
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8^1/2√8 是无理数，所以答案保持根式形式，把平方因数 4 提到根号外，化简为 2√2。小数 2.828… 作为近似值写在旁边，但绝不会取代它。
负底数的符号：(−2)⁴ 和 (−2)³
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(-2)^4四个负因数两两配对，得到两个正的乘积，所以 (−2)⁴ = 16。三个负因数会剩下一个没有配对的负号，所以 (−2)³ = −8。符号只由指数决定。注意，不加括号的 −2⁴ 表示 −(2⁴) = −16，那是另一个问题。
常见错误
- 把负指数理解成负的答案。2⁻³ 是 1/8，不是 −8：负号的作用是把幂移到分母，而不是跑到答案上。
- 用底数乘以指数。2⁵ 是 32，不是 10。指数表示因数的个数，不是乘数。
- 只对分数的分子乘方。(2/3)³ 是 8/27，不是 8/3，分母也要立方。
- 负底数漏掉括号。(−2)⁴ 是 16，而 −2⁴ 是 −16，因为乘方比负号优先。
- 以为 0⁰ 等于 1 或 0。它没有公认的值；不同领域采用不同的约定，本页选择不作回答，而不是挑一个。
- 把根式取近似值，而不是化简。8^(1/2) 精确地等于 2√2；2.83 只是近似值，一旦再平方就没用了。
指数常见问题
负指数是什么意思？
表示倒数。x⁻ⁿ 等于 1/xⁿ，所以 2⁻³ 是 1/8，一个小于 1 的正数。它来自幂的除法：2² ÷ 2⁵ 等于 1/8，而指数相减得到 2⁻³，所以两者必然相同。
为什么任何数的 0 次幂都等于 1？
因为一个幂除以它自己等于 1，而指数相减得到零：2³ ÷ 2³ = 1，同时也等于 2⁰。唯一的例外是 0⁰，它没有公认的值，因为推出 1 的这个规律需要一个可以做除数的底数。
分数指数是什么意思？
表示开方。分母表示开几次方，分子表示乘方：x^(1/2) 是平方根，x^(1/3) 是立方根，x^(2/3) 是 x 的平方的立方根。它来自幂的乘法：x^(1/2) 乘以 x^(1/2) 等于 x¹。
分数的乘方怎么算？
分子和分母分别乘方：(2/3)³ = 2³/3³ = 8/27。只对分子乘方是这里最常见的错误，结果会差上分母的那么多次幂倍。
(−2)⁴ 和 −2⁴ 一样吗？
不一样，这一点值得记牢。(−2)⁴ 是 −2 的四次方，结果是 +16。没有括号时，−2⁴ 表示 −(2⁴) = −16，因为先算乘方，再加负号。负底数每次都要加括号。
负数的乘方什么时候是正的？
指数为偶数时。每两个负因数相乘得到正数，所以偶数个负因数不会留下负号，奇数个则正好剩下一个负号。(−3)² 是 9，(−3)³ 是 −27。
2 的 1/2 次方是多少？
是 2 的平方根，一个无理数，所以精确答案是 √2，1.414… 只是它的近似值。本页会保留根式，并尽可能化简：8^(1/2) 写成 2√2，而不是保留为 √8。
这个计算器能算立方根吗？
能。分数指数会被精确地当作开方，最高到 12 次方根：8^(1/3) 是 2，16^(3/4) 是 8，54^(1/3) 保持为 3∛2，不会变成小数。负底数开奇数次方也可以（(-8)^(1/3) 是 -2）；负数开偶数次方不是实数，本页会明确告诉你。
