系数为小数的良好拟合
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x: 0, 1, 2, 3; y: 1, 2, 5, 11正规方程给出 a = 1.25，b = -0.45，c = 1.05，所以 y = 1.25x² - 0.45x + 1.05。预测值是 1.05、1.85、5.15 和 10.95，残差是 -0.05、0.15、-0.15 和 0.05，R² = 1214/1215，约为 0.9992。
二次回归计算器
穿过你的数据点的最佳拟合抛物线，给出精确系数和 R²。
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二次回归拟合的是离各点偏差最小的抛物线
有些数据先升后降，或者先降后升：抛出的球的高度，不同价格下的利润，汽车在不同速度下的油耗。对这样的数据，直线无论放在哪里，形状都不对。二次回归改用抛物线 y = ax² + bx + c 来拟合，并选择 a、b、c，使各点的竖直偏差的平方和尽可能小。这和线性回归是同一种最小二乘思想，只是多了一个系数要确定。
让偏差平方和最小，会得到关于 a、b、c 的三个方程，叫作正规方程，它们由 x、x²、x³、x⁴、y、xy 和 x²y 的和构成。图形计算器用浮点数求解。这个页面用精确分数求解，所以系数 -8/7 会显示为 -8/7，而不是 -1.142857，R² 同样是精确分数。
答案下方列出了每个点的预测值和残差。好的二次拟合留下的残差看起来像噪声，在零的上下随机分布，没有规律。如果残差仍然呈弯曲状，或者在表格中稳定地增大，说明抛物线也不是合适的形状，值得换一个模型试试。
关于抛物线，需要注意的地方
- a 的符号决定形状：a 为负时开口向下，有最高点；a 为正时开口向上，有最低点。
- x 值各不相同的三个点总能被精确拟合。点 (1, 4)、(2, 9) 和 (3, 20) 都在 y = 3x² - 4x + 5 上，每个残差都是 0，但这说明不了数据的任何性质。
- 抛物线的 R² 等于 1 减去残差平方和除以 y 的总变差。在同一组数据上，它永远不会低于直线的 r²，因为直线就是 a = 0 的抛物线。
- 拟合曲线的顶点在 x = -b/(2a) 处。对于 x = 1 到 6、y 为 2, 6, 11, 13, 12, 8 的数据，顶点在 x = 33/8，曲线在那里达到峰值，约为 12.45。
- 拟合曲线只在最小 x 和最大 x 之间可信。超出两端后，无论数据如何变化，抛物线都会转向，奔向正无穷或负无穷。
如何手算二次回归
计算各项之和
对每个点计算 x、x²、x³、x⁴、y、xy 和 x²y，然后把每一列相加，并数出点的个数。对于 x = 0, 1, 2, 3 和 y = 1, 2, 5, 11：n = 4，Σx = 6，Σx² = 14，Σx³ = 36，Σx⁴ = 98，Σy = 19，Σxy = 45，Σx²y = 121。
写出正规方程
aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y，aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy，以及 aΣx² + bΣx + cn = Σy。代入上面的和：98a + 36b + 14c = 121，36a + 14b + 6c = 45，14a + 6b + 4c = 19。
解这三个方程
每次消去一个未知数，并保持分数精确。这个方程组的解是 a = 1.25，b = -0.45，c = 1.05，所以 y = 1.25x² - 0.45x + 1.05。
用残差检验
把每个 x 代入曲线，用实际的 y 减去预测值。这里的残差是 -0.05、0.15、-0.15 和 0.05，它们的平方和是 0.05，R² = 1214/1215，约为 0.9992。
小数据集的最佳拟合抛物线
每一行都是输入上方计算器的一组数据，以及计算器给出的精确系数和 R²。
| x 值 | y 值 | 最佳拟合抛物线 | R² |
|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3 | 1, 2, 5, 11 | y = 1.25x² - 0.45x + 1.05 | 1214/1215 ≈ 0.9992 |
| -2, -1, 0, 1, 2, 3 | 9, 4, 1, 0, 1, 4 | y = x² - 2x + 1 | 1 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 2, 6, 11, 13, 12, 8 | y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 | 887/917 ≈ 0.9673 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 2, 17, 22, 17, 2 | y = -5x² + 20x + 2 | 1 |
| 1, 2, 3 | 4, 9, 20 | y = 3x² - 4x + 5 | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 0, 1, 4, 9, 16, 25 | y = x² | 1 |
例题详解
先升后降的数据
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x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 2, 6, 11, 13, 12, 8最佳拟合抛物线是 y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7，R² = 887/917，约为 0.9673。因为 a 为负，曲线有一个峰值，位于 x = 33/8 = 4.125，y = 697/56，约为 12.45。同样这些点用直线拟合，r² 只有 375/917，约为 0.4089，因为直线不会转弯。
抛出的球
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x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 2, 17, 22, 17, 2每隔一秒记录的高度，单位为米。拟合是精确的：y = -5x² + 20x + 2，每个残差都是 0，R² = 1。-5 是重力加速度（取 10 m/s²）的一半，20 是抛出速度，2 是抛出高度。峰值在 x = 2，y = 22。
本来就在抛物线上的点
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x: -2, -1, 0, 1, 2, 3; y: 9, 4, 1, 0, 1, 4这些是 (x - 1)² 的值，计算器返回 y = x² - 2x + 1，就是同一条抛物线展开后的形式，R² = 1，每个残差都是 0。用这种方法可以快速检验一组数值是否真的来自同一个二次函数。
常见错误
- 只用三个点，就把 R² = 1 当成拟合得很好。任意三个 x 值不同的点都在某条抛物线上。
- 在计算中途把和或系数四舍五入。正规方程很敏感，Σx⁴ 上一点小小的舍入误差就可能让 c 明显变化。分数要保留到最后。
- 方程中各项和的位置写错。左上角是 Σx⁴，右下角是 n；每往下一行，幂次就降一。
- 在数据范围之外做远距离预测。超出两端后，抛物线会转向并奔向无穷，不管实际的量是否如此。
- 因为 R² 变大了就选择抛物线。在同一组数据上，抛物线的 R² 总是不低于直线的 r²；真正的问题是残差是否不再有规律。
二次回归常见问题
二次回归是什么？
用最小二乘法给数据拟合一条抛物线 y = ax² + bx + c：选择 a、b、c，使各点到曲线的竖直距离的平方和尽可能小。当散点图先升后降或先降后升，而不是沿一条直线分布时，就该用这种方法。
怎么求二次回归方程？
对所有点求 x、x²、x³、x⁴、y、xy 和 x²y 的和，然后解三个正规方程 aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y，aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy，以及 aΣx² + bΣx + cn = Σy。对于 x = 0, 1, 2, 3 和 y = 1, 2, 5, 11，解为 a = 1.25，b = -0.45，c = 1.05。
二次回归需要多少个点？
至少三个，而且至少要有三个不同的 x 值。正好三个点时，抛物线会穿过所有点，R² 自然等于 1，所以要有四个或更多点，拟合结果才能说明数据的情况。
二次拟合中的 R² 是什么意思？
R² = 1 减去（残差平方和）除以（y 围绕其均值的总变差）。它表示 y 的变化中有多大比例能被抛物线解释。对于 x = 1 到 6、y = 2, 6, 11, 13, 12, 8，R² = 887/917，约为 0.9673。
二次回归和多项式回归是一回事吗？
二次回归就是 2 次的多项式回归。3 次拟合会增加一个 x³ 项和第四个正规方程，依此类推。次数越高，对数据点的拟合总是越紧密，但超过一定程度后拟合的就是噪声而不是趋势，所以对小数据集来说，通常到 2 次就够了。
怎么求拟合抛物线的顶点？
和求任何抛物线的顶点一样：x = -b/(2a)，再把这个 x 代入方程求 y。对于 y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7，得到 x = 33/8，y = 697/56，约为 12.45，这就是拟合趋势的峰值所在。
为什么系数是分数？
因为对你能输入的数据求解正规方程，得到的总是有理数，而分数就是精确答案。-8/7 才是首项系数；-1.142857 只是它的近似值。点击“复制”按钮，可以得到小数形式的曲线方程，方便粘贴到电子表格中。
