由汇总统计量求均值的区间
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x̄ = 50, s = 10, n = 25, 95%标准误是 10 除以 5，即 2。自由度为 24 时，95% 的 t 临界值是 2.064，所以误差范围约为 4.13，区间从 45.87 到 54.13。如果改用 z，误差范围是 1.96 乘以 2，即 3.92，对于 25 个样本来说略窄了一些。
置信区间计算器
在 90%、95% 或 99% 下求均值或比例的置信区间，算出误差范围。
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置信区间就是附带了不确定性的估计
样本均值是对总体均值的猜测，而一个没有范围的猜测是无法检验的。置信区间就是这个范围：估计值加减一个误差范围。误差范围等于临界值乘以标准误，这两个因子各自回答不同的问题。标准误表示换一个样本时估计值会变动多少；临界值表示区间需要延伸多少个标准误，才能达到你要求的置信水平。
对于均值，本页按标准方法计算。输入原始数据时，它会精确算出均值和样本标准差，标准差保留为根式；输入汇总统计量时，则直接采用你给的数。当标准差是由样本估计的，临界值取自自由度为 n 减 1 的 t 分布，这是诚实的选择，也是这里的默认设置；如果 σ 已知或 n 很大，切换一下就能用 z 版本。对于比例，本页给出两个区间：Wald 区间，也就是大多数课本里的那个；以及 Wilson 得分区间，这才是应该报告的那个，因为当比例接近 0 或 1、或者样本很小时，Wald 区间会出问题。
答案下方会在数轴上画出区间，并标出估计值，因为区间的图形能说明一对数字说明不了的事：它相对于所在位置有多宽。一个从 4.9 到 5.1 的均值区间和一个从 2 到 8 的均值区间都是区间，但只有前者值得报告到小数点后三位。
关于置信区间你需要知道的
- “95% 置信”说的是方法，而不是这一个区间。用这种方法构造很多次区间，大约 95% 会包含真实值；而任何一个具体的区间，要么包含，要么不包含。
- 置信水平越高，区间越宽。99% 区间延伸约 2.6 个标准误，而不是 2 个，所以同样的数据下，它比 95% 区间宽约三分之一。
- 区间宽度按 n 的平方根缩小。数据量变为 4 倍，误差范围减半；数据量变为 100 倍，误差范围缩小到十分之一。
- 当 σ 由样本估计时，用 t。n = 10 时，95% 的 t 临界值是 2.26，而不是 1.96；假装是 1.96，区间就会太窄。
- 比例要报告 Wilson 区间。Wald 区间可能低于 0 或高于 1，在成功或失败次数少于约 10 次时并不可靠；Wilson 区间始终在可能的范围内，并能保持它承诺的覆盖率。
怎样构造置信区间
算出估计值
样本均值或样本比例。能保持精确就保持精确，本页就是这样做的。
算出标准误
均值的标准误是标准差除以 n 的平方根。比例的标准误是 p(1 − p) 除以 n 的平方根。
查出临界值
对于 σ 需要估计的均值，按你的置信水平从自由度为 n 减 1 的 t 分布中查。对于 σ 已知的情况或比例，从正态分布中查：90%、95%、99% 分别对应 1.645、1.960、2.576。
相乘得到误差范围，再加减
误差范围等于临界值乘以标准误。区间从估计值减去误差范围，到估计值加上误差范围。
置信区间的临界值
区间在估计值两侧各延伸多少个标准误。
| 置信水平 | z | t，df = 5 | t，df = 10 | t，df = 30 |
|---|---|---|---|---|
| 90% | 1.645 | 2.015 | 1.812 | 1.697 |
| 95% | 1.960 | 2.571 | 2.228 | 2.042 |
| 99% | 2.576 | 4.032 | 3.169 | 2.750 |
例题详解
由原始数据求均值的区间
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2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9均值正好是 5，样本标准差是 4√14/7，约等于 2.138。除以 8 的平方根，得到标准误约为 0.756；自由度为 7 时，t 值是 2.365，95% 区间约为 3.21 到 6.79。
比例
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100 次试验中成功 40 次样本比例是 0.4。Wald 区间是 0.4 加减 1.96 乘以 0.049，即 0.304 到 0.496。Wilson 区间是 0.309 到 0.498：稍稍向中间偏移，正是这个修正让它在边缘处依然可靠。成功 40 次、失败 60 次都远超 10 次，所以两者几乎一致；如果是 10 次中成功 3 次，就不会这样了。
置信区间的常见错误
- 说真实均值有 95% 的概率落在这个区间里。这个概率说的是在反复抽样中这种方法的表现，而不是某一个固定的区间。
- 小样本时用 z。当 n 小于约 30 且 σ 由数据估计时，t 临界值明显更大，z 区间会太窄。
- 对罕见比例报告 Wald 区间。20 次中成功 2 次时，Wald 区间会低于 0；Wilson 区间不会，应该写 Wilson 区间。
- 计算标准误时除以 n，而不是 n 的平方根。这样误差范围会小得多。
- 把窄的区间当成准确的区间。宽度代表精密度，而不是准确度；有偏的样本会在错误的数值周围给出一个很窄的区间。
- 看到两个区间重叠，就断定没有差异。两个 95% 区间可能重叠，而均值之差却是显著的；应该直接检验这个差异。
置信区间常见问题
95% 置信区间怎么算？
取样本均值，用标准差除以 n 的平方根得到标准误，乘以 95% 对应的临界值（z 为 1.96；如果标准差是估计的，则取自由度为 n 减 1 的 t 值），再用均值加减这个误差范围。本页把每一步都单独列成一行。
95% 置信区间到底是什么意思？
意思是，在反复抽样中，产生它的方法有 95% 的时候能包含真实值。它并不是说真实值有 95% 的概率落在这个具体的区间里；真实值是固定的，这个区间要么包含它，要么不包含。实际的理解方式是：区间内的值与数据相符，区间外的值则不相符。
置信区间什么时候用 t，什么时候用 z？
只要标准差是由同一个样本估计的，就用 t，这也是最常见的情况。当总体标准差已知，或者 n 很大（几百以上）可以近似时，用 z。n = 10 时，两者分别是 2.26 和 1.96，差距大到不能忽略。
误差范围是什么？
区间宽度的一半：临界值乘以标准误。它就是民意调查里常说的“正负多少”。结果为 52%、误差范围为 3% 时，区间是 49% 到 55%。
为什么比例会给出两个区间？
Wald 区间是课本上的公式：p 加减 z 乘以 p(1 − p) 除以 n 的平方根；它很简单，也是大多数课程教的。Wilson 得分区间修正了 Wald 区间在接近 0 和 1 以及小样本时的已知缺陷，是统计学家推荐报告的区间。两个都列出来，你就能同时看到课本答案和更好的答案。
要达到给定的误差范围，需要多大的样本？
把误差范围公式变形：n = (z × σ / E)²。对于比例，在最坏情况 p = 0.5 时，n = (z / (2E))²，所以 95% 置信水平下误差范围为 3% 大约需要 1,068 人。误差范围减半，样本量要变为 4 倍。
置信区间能告诉我结果是否显著吗？
能，但只在一个方向上：如果差值的 95% 区间不包含 0，那么这个差值在 5% 水平上显著；如果均值的区间不包含假设值，单样本检验就会拒绝它。区间还能告诉你效应有多大，而单靠检验做不到这一点。
