一张 2×2 表
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20, 30 / 30, 20行合计 50 和 50，列合计 50 和 50，总计 100，所以每个期望频数都是 50 × 50 / 100 = 25。每个单元格贡献 25/25 = 1，卡方正好是 4，自由度为 1，P 值约为 0.046。在 5% 水平上刚好显著；克莱姆 V 系数为 0.2，属于弱关联。
卡方检验计算器
列联表独立性检验或拟合优度检验，每个期望频数都精确计算。
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卡方检验衡量的是频数离预期有多远
每个卡方检验都在比较一张观测频数表和某个假设预测的频数。独立性检验的假设是行变量和列变量毫无关系，所以每个期望频数等于行合计乘以列合计，再除以总计。拟合优度检验的假设是一组比例，比如公平骰子的等比例，或孟德尔豌豆的 9:3:3:1，再按你的总数缩放。无论哪种，统计量都是同一个求和：对每个单元格，观测值减期望值，平方，再除以期望值。
这个求和是精确的。频数为 20、30、30、20 的 2×2 表，每个期望频数都等于 25，卡方正好是 4；更复杂的表会有 350/3 这样的期望频数，本页面会保留 350/3，而不是写成 116.67，所以你看到的统计量是真实值，而不是五个四舍五入项的和。无法精确的是 P 值，它是卡方曲线下统计量右侧的面积；页面会画出这条尾部，并把这个数字标注为它所代表的面积。
答案下方的表格，正是学生考试要考、而大多数计算器省略的部分：每个单元格的观测频数、期望频数，以及它对统计量的贡献。它还能显示关联出现在哪里。在大表格里，往往一两个单元格就贡献了卡方的大部分，贡献值这一列会把它们指出来。对列联表给出的克莱姆 V 系数（Cramér’s V），把统计量转换成 0 到 1 之间的效应量，可以在不同大小的表格之间比较。
关于卡方检验你需要知道的
- 列联表的自由度是（行数 − 1）（列数 − 1），拟合优度检验的自由度是类别数 − 1。不管频数是多少，2×2 表的自由度都是 1。
- 期望频数小于 5 时，近似会变得粗糙。页面发现这种情况会给出提醒；2×2 表通常改用费希尔精确检验，其他情况通常的做法是合并稀疏的类别。
- 这个检验永远是右尾检验。卡方小说明频数符合假设；只有卡方大才是反对假设的证据。
- 显著不等于关联强。数据足够多时，很微弱的关联也会显著；克莱姆 V 系数说明关联有多强，0.1 为弱，0.3 为中等，0.5 为强。
- 用频数，不用百分比。统计量取决于观测的实际数量；丢掉了总数的百分比表格无法检验。
怎样手算卡方检验
列出观测频数
行是一个变量的各个类别，列是另一个变量的各个类别。算出每行、每列以及整张表的合计。
计算每个期望频数
行合计乘以列合计，再除以总计。保留分数，因为接下来要对它们平方。
计算每个单元格的贡献值
观测值减期望值，平方，再除以期望值。把它们全部加起来，总和就是卡方统计量。
求自由度和 P 值
（行数 − 1）（列数 − 1）。P 值是该自由度下卡方曲线的右尾面积；拿它和 alpha 比较，或者拿统计量和临界值比较。
卡方临界值
统计量必须超过这些值，结果才在对应水平上显著。
| 自由度 | α = 0.10 | α = 0.05 | α = 0.01 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
| 2 | 4.605 | 5.991 | 9.210 |
| 3 | 6.251 | 7.815 | 11.345 |
| 4 | 7.779 | 9.488 | 13.277 |
| 5 | 9.236 | 11.070 | 15.086 |
| 9 | 14.684 | 16.919 | 21.666 |
计算示例
骰子公平吗？
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10, 12, 8, 11, 9, 10 over six faces掷了 60 次，所以每个面期望 10 次。各面的贡献值分别是 0、0.4、0.4、0.1、0.1 和 0，卡方正好是 1，自由度为 5，P 值约为 0.96。没有任何迹象表明这颗骰子做了手脚。
孟德尔的豌豆
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315, 108, 101, 32 against 9 : 3 : 3 : 1总数是 556，所以期望频数是 556 × 9/16 = 312.75、104.25、104.25 和 34.75。卡方约为 0.47，自由度为 3，P 值约为 0.93：这些频数和 9:3:3:1 的预测吻合得几乎好到可疑，这本身就是一个著名的争论。
卡方检验的常见错误
- 对百分比做检验。先把它们换回频数；统计量会随观测数量变化。
- 把期望频数四舍五入。116.67 平方再相除，和 350/3 平方再相除不是一回事；每个单元格的小误差会在整张表上累加起来。
- 忽略小于 5 的期望频数。卡方曲线只是一种近似，在稀疏的单元格里会变差；合并类别，或者改用精确检验。
- 把大的卡方值当成强关联。它会随样本量增大；衡量关联强度的是克莱姆 V 系数。
- 用错自由度。3×4 表的自由度是 6，不是 11，也不是 12。
- 做双尾卡方检验。这个检验本身就是单尾的；很小的统计量只能说明拟合得好，不能证明别的。
卡方检验常见问题
卡方统计量怎么计算？
对每个单元格，用观测频数减去期望频数，把结果平方，再除以期望频数。把所有单元格的这些项加起来。对列联表，期望频数是行合计乘以列合计再除以总计；对拟合优度检验，期望频数是总数乘以该类别的期望比例。
独立性检验和拟合优度检验有什么区别？
独立性检验作用于一张二维表，检验行变量和列变量是否相关；它的期望频数来自表格自身的边际合计。拟合优度检验作用于一列频数，检验它们是否符合你事先指定的比例，比如等比例或某个遗传比例。
卡方检验的 P 值怎么求？
它是在检验的自由度下，卡方曲线位于统计量右侧的面积。自由度为 1 时，卡方 3.841 对应 p = 0.05；统计量越大，P 值越小。页面会直接计算这块面积，并在曲线上用阴影标出。
期望频数小于 5 怎么办？
卡方近似会变得不可靠。通常的建议是每个期望频数都至少为 5，最宽松的标准是小于 5 的不超过五分之一，并且没有一个小于 1。2×2 表改用费希尔精确检验；更大的表就合并稀疏的类别。页面发现这种情况时会标出来。
克莱姆 V 系数是什么？
列联表的一种效应量：卡方除以样本量与（行数 − 1）、（列数 − 1）中较小者的乘积，再开平方。它的范围从 0（无关联）到 1（完全关联），而且和卡方本身不同，它不会仅仅因为样本变大而变大。
频数较小的 2×2 表能用卡方检验吗？
要谨慎使用。期望频数都在 5 及以上时没有问题；有时会使用耶茨连续性校正，不过它往往偏保守。低于这个标准时，费希尔精确检验会计算出这张表的精确概率，是标准的选择。
为什么这个页面把期望频数保留为分数？
因为统计量是差值的平方除以这些频数之后的总和，平方之前把每个期望频数四舍五入，会给每一项都带入一点误差。期望频数 350/3 就是精确的 350/3；116.67 不是。保留分数，你看到的卡方才是你输入的这张表的真实值。
