课本上的经典数据
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x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5各项之和为 Σx = 15，Σy = 20，Σxy = 66，Σx² = 55，n = 5。斜率是 30/50 = 0.6，截距是 11/5 = 2.2，所以直线是 y = 0.6x + 2.2。残差是 -0.8、0.6、1、-0.6 和 -0.2，加起来为 0，平方和为 2.4。相关系数 r = √15/5，约为 0.7746：较强的正相关。
线性回归计算器
精确求出穿过你的数据点的最佳拟合直线，给出 r 和每一步计算过程。
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线性回归找的是离所有点偏差最小的那一条直线
真实数据从来不会恰好落在一条直线上，所以你画的任何直线都会偏离大部分点。每一次偏离都是一个残差：实际的 y 减去直线预测的 y。线性回归把每个残差平方、再相加，然后选出让总和最小的那一条直线。这条直线就是最小二乘回归直线，也叫最佳拟合直线；只要 x 值不全相同，任何一组点都恰好只有一条。
求它需要五个数：点的个数 n，以及 x、y、xy 和 x² 各自的和。斜率 m = (nΣxy 减去 ΣxΣy) 除以 (nΣx² 减去 (Σx)²)，截距 b = (Σy 减去 mΣx) 除以 n。这个页面会列出这些求和的表格，把你的数据代入两个公式，并展示每一行计算过程，因为老师检查的正是这张表。
斜率和截距都保留为精确分数。当数据由整数、小数和分数组成时，它们一定是有理数，所以斜率 162/35 就显示为 162/35，而不是它的近似值 4.6286。相关系数 r 是一个平方根，所以会以根式显示，旁边附上小数。点“复制”按钮可以得到小数形式的直线方程，直接粘贴进表格软件。
关于这条直线，值得注意的几点
- 它一定经过均值点。x = 1 到 5、y = 2, 4, 5, 4, 5 时，均值分别是 3 和 4，直线是 y = 0.6x + 2.2，而 0.6 × 3 + 2.2 = 4。
- 它的残差加起来一定正好为零。直线上方和下方的偏差相互抵消，这就是这种方法要先平方再相加的原因。
- 斜率是有单位的：每个 x 单位对应多少 y 单位。用学习时长对考试分数做回归，斜率为 162/35，意味着每多学一小时，大约多得 4.63 分。
- 交换 x 和 y 会得到另一条直线，而不是同一条直线换个写法。y 对 x 回归让竖直方向的偏差最小；x 对 y 回归让水平方向的偏差最小。
- 斜率说明趋势有多陡，r 说明点跟这条趋势贴得有多紧。两者的符号总是相同，但陡峭的直线可能 r 很弱，平缓的直线也可能 r 很强。
- 两个点总是完美拟合，r = 1 或 -1。这对数据说明不了什么；回归直线要有三个或更多的点才开始有意义。
如何手算回归直线
列表
把每个点写成一行，共四列：x、y、xy 和 x²。把每一列加起来，再数一数点的个数。x = 1, 2, 3, 4, 5、y = 2, 4, 5, 4, 5 时，得到 n = 5，Σx = 15，Σy = 20，Σxy = 66，Σx² = 55。
计算斜率
m = (nΣxy 减去 ΣxΣy) / (nΣx² 减去 (Σx)²)。这里是 (5 × 66 减去 15 × 20) / (5 × 55 减去 15²) = 30 / 50 = 0.6。如果结果不是简短的小数，就保留为分数。
计算截距
b = (Σy 减去 mΣx) / n。这里是 (20 减去 0.6 × 15) / 5 = 11/5 = 2.2。要用上一步的精确斜率，不要用四舍五入后的。
写出直线并检验
y = 0.6x + 2.2。检查它是否经过均值点 (3, 4)：0.6 × 3 + 2.2 = 4。如果不经过，说明某个和算错了。
判断拟合效果
算出 r，或者看残差。这里 r = √15/5，约为 0.7746，残差是 -0.8、0.6、1、-0.6 和 -0.2，它们的平方和为 2.4。
小数据集的最佳拟合直线
每一行都是输入上方计算器的一组数据。斜率和截距是精确值；r 以根式显示，并附上小数。
| x 值 | y 值 | 最佳拟合直线 | r | r² |
|---|---|---|---|---|
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2, 4, 5, 4, 5 | y = 0.6x + 2.2 | √15/5 ≈ 0.7746 | 0.6 |
| 0, 1, 2, 3 | 7, 5, 3, 1 | y = -2x + 7 | -1 | 1 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 3, 7, 8, 12, 15 | y = 1.45x + 0.3 | 29√215/430 ≈ 0.9889 | 841/860 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 52, 58, 61, 67, 70, 76 | y = (162/35)x + 47.8 | 9√15/35 ≈ 0.9959 | 243/245 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 3, 1, 4, 1, 5 | y = 0.4x + 1.6 | √2/4 ≈ 0.3536 | 0.125 |
| 1, 3 | 2, 8 | y = 3x - 1 | 1 | 1 |
| -2, -1, 0, 1, 2 | 4, 1, 0, 1, 4 | y = 2 | 0 | 0 |
例题详解
斜率是分数的情况：学习时长与考试分数
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x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76均值分别是 3.5 小时和 64 分。斜率是 162/35，约每小时 4.63 分；截距是 64 减去 (162/35) × 3.5 = 47.8，所以 y = (162/35)x + 47.8，r ≈ 0.9959。学习 4.5 小时，直线预测 2402/35，约 68.63 分。学习 12 小时，它预测约 103.34 分，而试卷满分只有 100：这是数据无法支撑的外推。
本来就在一条直线上的点
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x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1x 每增加 1，y 就减少 2，所以这些点正好落在 y = -2x + 7 上。计算器会找到这条直线，每个残差都是 0，残差平方和也是 0，r = -1：完全负相关。
在数据范围内外做预测
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x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15直线是 y = 1.45x + 0.3，r ≈ 0.9889，并且经过均值点 (6, 9)。在数据范围内的 x = 7 处，它预测 10.45，这是内插，可信程度大致和拟合效果相当。在 x = 60 处，它预测 87.3，已经超出最后一个点五十个单位，数据里没有任何东西能说明趋势还会延续。
r 很高，却藏着一条曲线
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x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25最佳拟合直线是 y = 5x - 10/3，r ≈ 0.9599，听起来非常好。可残差是 10/3、-2/3、-8/3、-8/3、-2/3 和 10/3：两端为正，中间为负。这种 U 形说明点落在一条曲线上，二次回归会精确拟合为 y = x²。
常见错误
- 先把斜率四舍五入，再算截距。斜率是 162/35 时，用 4.63 算出的截距是 47.795，而不是 47.8。全程使用精确斜率，最后只取一次近似。
- 把 nΣx² 和 (Σx)² 搞混。x = 1 到 5 时，前者是 5 × 55 = 275，后者是 15² = 225。弄反了，分母的符号就会变。
- 数据没有一一对应。第一个 x 对应第一个 y。只给一列排序而不动另一列，得到的直线穿过的是根本不存在的点。
- 远远超出数据范围做外推。直线描述的是拟合时用到的范围；即使 r 接近 1，范围之外很远的预测也可能错得离谱。
- 把高 r 当作直线模型正确的证据。0 到 25 的平方数 r ≈ 0.96，却仍然落在一条曲线上。要看残差。
- 把斜率理解为因果。直线说明的是在这组数据里 y 随 x 变化的趋势，而不是改变 x 就会改变 y。
- 题目要求 y 对 x 回归，却做成了 x 对 y 回归。除非所有点都在一条直线上，这两条回归直线是不同的。
线性回归常见问题
线性回归怎么手算？
为每个点列出 x、y、xy 和 x²，再把各列加起来。斜率 m = (nΣxy 减去 ΣxΣy) / (nΣx² 减去 (Σx)²)，截距 b = (Σy 减去 mΣx) / n。x = 1 到 5、y = 2, 4, 5, 4, 5 时，得到 m = 30/50 = 0.6，b = 11/5 = 2.2，所以 y = 0.6x + 2.2。这个页面会列出同样的表格并代入两个公式，方便你逐行核对。
什么是最小二乘回归直线？
让残差平方和尽可能小的那条直线，其中残差是某个点的实际 y 减去直线预测的 y。只要 x 值不全相等，这条直线就是唯一的。对上面那五个点来说，没有任何其他直线能让平方和低于 2.4。
斜率和截距分别代表什么？
斜率表示 x 每增加 1，y 平均变化多少，单位是每个 x 单位对应的 y 单位。截距是 x 为 0 时预测的 y。只有当 x = 0 在数据范围内或附近时，截距才有意义；用身高预测体重的回归，身高为 0 时的截距描述的不是任何真实的人。
最佳拟合直线和回归直线是一回事吗？
是的。在统计学中，最佳拟合直线就是最小二乘回归直线，也就是这个计算器算出的直线。在纸上凭眼睛画的拟合直线只是它的估计，而且应该经过均值点，计算出的直线总是经过这个点。
回归直线的 r² 多少才算好？
要看领域。r² 是 y 的变化中能被这条直线解释的比例，所以 0.9 表示 90%。受控的物理实验测量常常能达到 0.99；关于人的数据往往只有 0.3 到 0.5，但仍然有用。r² 高并不能证明直线就是正确的形状，所以也要检查残差。
线性回归需要多少个点？
两个点就能确定一条直线，所以计算器接受两个点；但穿过两个点的直线总是完美拟合，对数据说明不了什么。有三个或更多的点时，残差、r 和 r² 才开始带有信息，点越多，斜率就越可靠。
可以用回归直线做预测吗？
在 x 值的范围内可以：这叫内插，可靠程度和拟合效果相当。超出范围就是外推，数据里没有任何东西能说明趋势会延续。本页的考试分数例子在学习 12 小时时预测约 103 分，而试卷满分是 100。
为什么答案是分数而不是小数？
因为对有理数数据做最小二乘拟合，得到的斜率和截距都是有理数，而分数就是精确值。162/35 才是斜率，4.6286 只是它的近似值，用近似值做的每一次预测都会带上误差。需要小数时，点“复制”按钮即可。
