正弦、余弦和正切
- sin θ = a / c
- cos θ = b / c
- tan θ = a / b
a 对边b 邻边c 斜边
三角函数公式
所有三角函数公式都在一张表上：三个三角比、由它们推出的恒等式、角的公式、正弦定理和余弦定理、弧度和函数图像。
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所有三角函数公式都在这一页上：三个三角比、恒等式、角的公式、适用于任意三角形的定理、弧度和函数图像。每个符号都在公式下方注明。切换到测验模式可以隐藏公式来考考自己，也可以打印整张公式表。
三角函数比
倒数关系
- csc θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
商数关系
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
特殊角
角sincostan
0°010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210—
恒等式
平方关系
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
奇偶性公式
- sin(−θ) = −sin θ
- cos(−θ) = cos θ
- tan(−θ) = −tan θ
余角公式
- sin(90° − θ) = cos θ
- cos(90° − θ) = sin θ
- tan(90° − θ) = cot θ
角的公式
两角和与差公式
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
二倍角公式
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ − sin²θ
- cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)
半角公式
- sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
降幂公式
- sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
- cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
积化和差公式
- sin A sin B = ½[cos(A − B) − cos(A + B)]
- cos A cos B = ½[cos(A − B) + cos(A + B)]
- sin A cos B = ½[sin(A + B) + sin(A − B)]
和差化积公式
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- cos A − cos B = −2 sin((A + B)/2) sin((A − B)/2)
三角形
正弦定理
- a / sin A = b / sin B = c / sin C
A, B, C 各角a, b, c 它们各自所对的边
余弦定理
- c² = a² + b² − 2ab cos C
A, B, C 各角a, b, c 它们各自所对的边
三角形面积
- 面积
- A = ½ab sin C
C 边 a 和边 b 的夹角
弧度与图像
弧度、弧长与扇形
- 180° = π rad
- 角度化弧度
- θ(rad) = θ(°) · π / 180°
- 弧长
- s = rθ
- 扇形面积
- A = ½r²θ
r 半径θ 以弧度表示的角s 弧长
正弦和余弦函数图像
- y = A sin(Bx − C) + D
- 振幅
- |A|
- 周期
- 2π / |B|
- 相位平移
- C / B
- 中线
- y = D
一切都从三个比开始
在直角三角形中，从两个锐角里选一个，记作 θ。与它相对的边是对边，与它相邻的边是邻边，最长的边是斜边。于是：
- sin θ = 对边 / 斜边
- cos θ = 邻边 / 斜边
- tan θ = 对边 / 邻边
公式表上几乎每一行，都是这三个式子之一变形而来。
恒等式是同一个事实除出来的
把三角形放进一个半径为 1 的圆里。斜边是 1，所以两条直角边正好是 cos θ 和 sin θ，由勾股定理得到 sin²θ + cos²θ = 1。
另外两个恒等式都来自这一行。每一项都除以 cos²θ，得到 tan²θ + 1 = sec²θ；改为除以 sin²θ，得到 1 + cot²θ = csc²θ。单位圆页面展示了三角形沿着圆转动的过程。
角的公式都来自两个公式
记住正弦和余弦的和角公式。“角的公式”部分的所有内容都由它们推出：
- 二倍角： 在和角公式中令 B = A，sin(A + A) 就变成 2 sin A cos A。
- 降幂： 从 cos 2θ = 1 − 2sin²θ 中解出 sin²θ。
- 半角： 把降幂公式中的 θ 写成 2θ 的一半，再开平方。
- 差角： 把 B 换成 −B，再利用奇偶性恒等式。
任意三角形，不只是直角三角形
三角比需要一个直角。对于其他三角形，用大写字母标记每个角，用同一个小写字母标记它的对边。于是：
- 正弦定理把每条边和它的对角联系起来。已知一条边和它的对角时使用。
- 余弦定理是对角度做了修正的勾股定理：当 C = 90° 时，cos C = 0，它就变成 c² = a² + b²。已知两边及其夹角，或者三条边都已知时使用。
角度与弧度
转一整圈是 360°，也就是 2π 弧度，所以 180° = π 弧度。恒等式在两种单位下都成立。弧长 s = rθ 和扇形面积 A = ½r²θ 要求 θ 用弧度表示：正因为这样，它们才这么简洁。
试一试
接下来
常见问题
有可打印的三角恒等式公式表吗？
有。本页的全部内容也提供免费的 Letter 尺寸 PDF 和 PNG。下载按钮在公式表上方，下方也有。
三个勾股恒等式是什么？
sin²θ + cos²θ = 1、1 + tan²θ = sec²θ 和 1 + cot²θ = csc²θ。只有第一个值得背：两边同除以 cos²θ 得到第二个，同除以 sin²θ 得到第三个。
什么时候用正弦定理，什么时候用余弦定理？
已知一个角和它的对边，再加上另一条边或另一个角时，用正弦定理。已知两边及其夹角，或者三条边都已知时，用余弦定理。在直角三角形中两个都不需要：用 sin、cos 和 tan 这三个比就够了。
哪些三角函数公式需要背下来？
三个三角比、sin²θ + cos²θ = 1，以及 sin 和 cos 的和角公式。二倍角公式就是令 B = A 的和角公式，半角公式和降幂公式由二倍角公式推出，倒数关系和商数关系则是定义。
这些公式在角度制和弧度制下都成立吗？
是的，每个恒等式在两种单位下都成立。只有把角和长度混在一起的公式才需要弧度：弧长 s = rθ 和扇形面积 A = ½r²θ 只有在 θ 用弧度表示时才成立。
